pendulo

Péndulo compuesto no homogéneo

Consideremos un péndulo compuesto formado por un tubo hueco largo y de pequeño radio de masa M0 y longitud L como se muestra en la figura. Se sujeta por un eje que pasa por uno de los extremos y se desplaza de la  posición de equilibrio comenzando a oscilar. El periodo es

Siendo I0=M0L2/3 el momento de inercia y y0=L/2 la posición del centro de masaSupongamos que el tubo hueco se rellena uniformemente hasta una altura h con una masa m de cierta sustancia (en color rojo). El periodo es

Donde Im es el momento de inercia de la masa m alrededor del eje de oscilación e y es la distancia del centro de masa del sistema formado por el tubo y la masa m de relleno desde el centro de oscilación.

El periodo P vale

Sea M la masa de la sustancia querellena completamente el tubo, entonces cuando el tubo está parcialmente lleno hasta una altura h,  m=M·h/L. El periodo P se expresa

El periodo P es función de los cocientes R=M/M0 y x=h/L


El periodo P presenta un máximo para cierto valor de x=h/L, que se calcula igualando la derivada primera de P respecto de x, a cero, dP/dx=0
Resultando la ecuación
R2x4-4R2x3+3R2x2-3Rx2+4Rx-R=0
Quese puede resolver empleando procedimientos numéricos
 Fundamentos físicos
El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo   de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe
IO· =-mgxsen
Donde x es ladistancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O.
IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.
Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ.La ecuación diferencial se escribe entonces

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

Por el teorema de Steiner
IO=IC+mx2=mR2+mx2
R se denomina radio de giro, para una varilla R2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición decentro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

PENDULO: Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.
Péndulo ideal, simple o matemático: Se denominaasí a todo cuerpo de masa m (de pequeñas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos últimas condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que realizaremos referente al péndulo, se facilita admitiendo ese supuesto .
Péndulo físico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera , habremos construido un péndulo físico. Poresto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.
Oscilación - Amplitud - Período y Frecuencia:
A continuación estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilación de los péndulos y que permiten enunciar las leyes del péndulo.
Daremos previamente los siguientes conceptos:
Longitud del péndulo (l)es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad del péndulo.
Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB).
Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria realizada desde una posición extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA). Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ángulo formado por la...