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Scientia et Technica Año XVI, No 44, Abril de 2010. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701

SOLUCIONES PERIÓDICAS DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO FORZADO CON
FRICCIÓN POR MÉTODOS TOPOLÓGICOS
Periodic solutions of forced pendulum equation with friction by topological methods

RESUMEN
En el presente artículo se analiza la ecuación del péndulo forzado con fricción
concondiciones de Dirichlet. Para dar solución al problema, se define un
operador en un espacio adecuado de manera tal que las condiciones del teorema
de punto fijo de Schauder se cumplan, garantizando así la existencia de solución.
Posteriormente se aplica el método de super y sub soluciones para determinar en
donde se encuentra la solución de la ecuación.
PALABRAS CLAVES: Problema de Dirichlet, métodode super y sub
soluciones, péndulo forzado, métodos topológicos.
ABSTRACT
in this paper we analyze the forced pendulum equation with friction with
Dirichlet conditions. For resolving the problem, define an operator on a suitable
space so that the conditions of fixed-point theorem of Schauder are met, thereby
ensuring the existence of solution. Then applied the method of super and subsolutions to determine where lies the solution of the equation.
KEYWORDS: Dirichlet problem, method of upper and lower solutions, forced
pendulum, topological methods.

Se quiere resolver el problema
‫)′ݑ ,ݑ ,ݐ(݂ = ݑ‬

(1.1)

el cual representa el problema del péndulo forzado con
fricción con condiciones de Dirichlet.
Para solucionar esta ecuación, se definirá un operador en
un espacioadecuado de tal forma que se cumplan las
condiciones del teorema de punto fijo de Schauder
garantizando así que existe solución y posteriormente se
aplicará el método de super y sub-soluciones para
determinar en donde se encuentra la solución de la
ecuación. El desarrollo para el caso del péndulo forzado
con fricción es similar a cuando no se tiene fricción, para
el primer caso es necesariohacer acotaciones de la
derivada para que el método de super y sub-soluciones
pueda ser aplicado de manera correcta.
2. METODO DE SUPER Y SUB-SOLUCIONES
Fecha de Recepción: Enero 26 de 2010
Fecha de Aceptación: Marzo 25 de 2010

TIBERIO TREJOS ARICAPA
Licenciado en Matemáticas y Física.
Magister en Enseñanza de la
Matemática.
Profesor T.C. Universidad Libre de
Pereira.
titrejos@utp.edu.coFERNANDO MESA
Licenciado en Matemáticas y Física.
M.Sc. Instrumentación Física.
Profesor Titular.
Universidad
Tecnológica de Pereira.
femesa@utp.edu.co

Considérese el problema

1. INTRODUCCIÓN

ᇱᇱ

PEDRO PABLO CÁRDENAS A.
Licenciado en Matemáticas y
Computación.
Magíster en Enseñanza de la
Matemática.
Profesor Asistente - Departamento
de
Matemáticas.
UniversidadTecnológica de Pereira
ppablo@utp.edu.co
www.ppablo.com

‫ݑ‬ᇱᇱ = ݂(‫))ݐ(ݑ ,ݐ‬
൜
‫ݑ = )0(ݑ‬଴ , ‫ݑ = )1(ݑ‬ଵ

(2.1)

en donde f es una función continua y acotada.
Definición 2.1. Una función ߙ ∈ ‫ )]1,0[(ܥ‬es una subsolucion del problema (2.1) si:
1.
2.

ߙ ᇱᇱ (‫݂ ≥ )ݐ‬൫‫)ݐ(ߙ ,ݐ‬൯
ߙ(0) ≤ ‫ݑ‬଴ , ߙ(1) ≤ ‫ݑ‬ଵ

Una función ߚ ∈ ‫ )]1,0[(ܥ‬es una super-solución del
problema (2.1) si:
1.
2.
3.ߚ ᇱᇱ (‫))ݐ(ߚ ,ݐ(݂ ≤ )ݐ‬
ߚ(0) ≥ ‫ݑ‬଴ , ߚ(1) ≥ ‫ݑ‬ଵ
SOLUCIONES PERIODICAS
ECUACION DEL PENDULO

DE

LA

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Se aplicara a continuación el método de super y subsoluciones para demostrar un teorema de existencia de
soluciones T-periódicas para la ecuación del péndulo
forzado con fricción:
‫ݑ‬ᇱᇱ+ ܽ‫ݑ‬ᇱ + sin ‫)ݐ(݌ = ݑ‬

(3.1)

Supóngase que p es una función continua.
Si ܽ = 0, entonces el problema tiene solución cuando
ଵ ்
‫ ,0 = ̅݌‬donde ‫ .ݐ݀)ݐ(݌ ׬ = ̅݌‬Además, si ‫ ̅݌‬es muy
் ଴
grande, el problema no tiene solución. Integrando la
ecuación, por la periocidad de u debe cumplirse que
்

donde ݇ ∈ ℤ es suficientemente grande para que valga
‫ݑ‬ଵ ≥ ‫ݑ‬ଶ .
Empleando el...