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Guía de Ejercicios: Espacios y Subespacios Vectoriales.
Isabel García, Raúl Jiménez , María Robbiano y Juan Egaña Noviembre 2008.
De…nición: Los vectores v1 ; v2 ; base para V si: i. v1 ; v2 ; ii. v1 ; v2 ; ; vk generan a V , y ; vk son linealmente independientes. ; vk en un espacio vectorial V forman una

Observación: Si v1 ; v2 ; ; vk forman una base para un espacio vectorial V , entoncesdeben ser todos distintos y ninguno de ellos puede ser el vector nulo. Ejemplo: Los vectores e1 = (1; 0) y e2 = (0; 1) forman una base para R2 , los vectores e1 = (1; 0; 0) , e2 = (0; 1; 0) y e3 = (0; 0; 1) forman una base para R3 y, en general, los vectores e1 ; e2 ; ; en forman una base para Rn . Cada uno de estos conjuntos de vectores se llama base natural o base canónica para R2 ; R3 y Rn ,respectivamente. 1. Muestre que el conjunto S = fv1 ; v2 ; v3 ; v4 g, donde v1 = (1; 0; 1; 0); v2 = (0; 1; 1; 2); v3 = (0; 2; 2; 1) y v4 = (1; 0; 0; 1), es una base para R4 . 2. Sea Pn el conjunto de los polinomios de grado cero (o nulo). Si p(x) = an xn + an 1 xn q(x) = bn xn + bn 1 xn de…nimos p(x) q(x) como
1 1 1

n junto con el polinomio + a1 x + a0 + b1 x + b 0 y

+ +

p(x) q(x) = (an +bn ) xn +(an y p(x) como

+ bn

n 1 + 1) x

+(a1 + b1 ) x+(a0 + b0 )

p(x) = ( an ) xn + ( an

n 1 1) x

+

+ ( a1 ) x + ( a0 )

Pruebe que (Pn ; ; ) es un espacio vectorial. 3. Sea V el conjunto de todos los polinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a; b y c son números reales, con b = a c. ¿Es (V; ; ) un subespacio de (P3 ; ; )? 1

4. Sea V el conjunto de todos los polinomiosde la forma ax2 + bx + c, donde a; b y c son números reales, con b = a + 1. ¿Es (V; ; ) un subespacio de (P3 ; ; )? 5. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de P2 no son subespacios? El conjunto de todos los polinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a. b = 1 b. 2c (a) 2a 4a + b = 0 3c = 7: c. a = 2

6. Muestre que P2 se puede identi…car con un subespacio de P3 . 7. Demuestre que S = xn ; xn
1;

; x; 1

es una base para Pn . Dicha base se denomina base natural o base canónica para Pn . 8. Determine una base para los conjuntos dados, que sean subespacios vectoriales, del ejercicio anterior. 9. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial M23 son subespacios? El conjunto de las matrices de la forma a. a b d e b. 0 b c f , donde a = 2c 1 a c 0 3b; d = b e:

,donde a = 2c

3b:

10. Determine una base para los conjuntos dados, que sean subespacios vectoriales, del ejercicio anterior. 11. Sea V igual a P2 , el espacio vectorial que consta de todos los polinomios de grado 2 y el polinomio cero. Sea S = fp1 (x); p2 (x)g, donde p1 (x) = x2 + 2x + 1 y p2 (x) = x2 + 2. ¿S genera a P2 ? 12. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos generan a R3 ? a. f(1; 1; 2) ;(0; 1; 1)g

b. f(2; 2; 3) ; ( 1; 2; 1) ; (0; 1; 0)g

c. f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1) ; (1; 1; 1)g

13. Sea el sistema homogéneo Ax = 0, donde A es una matriz de m n. Sea W el subconjunto de Rn formado por todas las soluciones del sistema homogéneo. Pruebe que W es un subespacio de Rn . 2

14. Determine un conjunto de vectores que genere al espacio solución de Ax = 0, donde 2 3 1 0 1 06 1 2 3 1 7 7 A=6 4 2 1 3 1 5 1 1 2 1 15. Sean x1 = 4 2 3 2 1 5 ; 1 x2 = 4 2 3 4 7 5 ; 1 3 1 x3 = 4 2 5 2 2

elementos del espacio solución de Ax = 0. ¿Es el conjunto fx1 ; x2 ; x3 g linealmente independiente? 16. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en M22 son linealmente dependientes? Para aquellos que lo sean, exprese uno de los vectores como una combinación lineal del resto. a. 11 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 0 0 2 1 0 0 2 2 3 1 2 ; 0 1 0 0 3 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ; 2 4 6 6

b.

;

;

c.

;

;

;

17. ¿Para cuáles valores de c son linealmente dependientes los vectores ( 1; 0; 1) ; (2; 1; 2) y (1; 1; c) en R3 ? 18. Sea el conjunto S= 1 0 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 0 1 :

Pruebe que S es una base para el espacio vectorial M22 de todas las matrices de 2 2....