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Función continua
«Continua» redirige aquí. Para otras acepciones, véase continuo.
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de  en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sinlevantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones realesde una variable real.
Índice
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1 Funciones reales de una variable real
1.1 Continuidad de una función en un punto
1.2 Continuidadlateral
1.3 Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)
1.4 Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]
2 Algunas funciones continuas importantes
2.1 Funciones definidas por intervalos
2.2 Función racional
3 Teoremas sobre funciones continuas
3.1 Derivada y continuidad
3.1.1 Clase de continuidad
4 Funciones continuas en espacios topológicos
5 Funciones continuassobre los números ordinales
6 Véase también
7 Referencias
7.1 Bibliografía
Funciones reales de una variable real[editar]

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos",como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función encuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.
Continuidad de una función en un punto[editar]

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto x0 en el dominio de la función
si:  tal que para toda x en el dominio de la función:

Esto se puede escribir en términos delímites de la siguiente manera:
Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de  en , y de una manera más rigurosa se dice que una función  es continua en un punto x1si existe f (x1), si existe el límite de f (x) cuando x tiendehacia x1 por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente: 
1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por laizquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al...