pensamiento algoritmico poli


EJERCICIOS

7. a) En las casillas de un tablero de 4 × 4 están puestos los signos “+” y“−” como muestra la figura. Se permite cambiar a la vez el signo de todas las casillas que están situadas en una fila o en una columna o en una línea paralela a cualquier diagonal. Muestre que repitiendo este proceso no es posible obtener un tablero que contenga ´únicamente signos “+”

+
-
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+


Respuesta:

En un tablero de 4x4 notemos que la casilla negativa no puede ser una de las casillas azules de la siguiente figura. Porque si una de ellas es negativa, entonces luego de cualquier cantidad der cambios la cantidad de casillas negativas entre ellas siempre va a ser impar, lo cual significa que nunca van a ser todas del mismo signo. Esto se debe aque por la distribución de las 8 casillas coloreadas, al realizar cualquier operación que cambie el signo de una de ellas realmente cambia a exactamente dos de ellas y por tanto la cantidad de casillas negativas entre ellas siempre sería impar.

Adicionalmente y según las reglas de los cambios dentro de este tablero, la única opción posible sería que el signo “-“ quedara en una esquina. De estamanera y con la regla de que puede ser cambiado el signo en cualquier línea paralela a la diagonal, se podría cumplir que todas quedaran de signo “+”.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



b) En todas las casillas de un tablero de 8 × 8 están puestos los signos “+”, excepto en una que no es esquina, donde hay un signo “-”. Se permite cambiar los signos con las reglas dadas ena). Muestre que no es posible obtener un tablero que contenga únicamente signos “+”.

Respuesta
Son aplicables las mismas reglas del anterior punto, dado que es tiene números pares de 8 casillas por cada lado, lo que significa que cualquier cantidad de casillas es impar.

c) Determine las posibles posiciones de la casilla con signo “-” en un tablero de nxn de modo que un momento determinadotodas las casillas tengan signos “+”.

Respuesta
De la forma en que analizamos el tablero de 4x4 con las casillas azules la podemos hacer en cada sub-tablero de 4x4, ósea trasladamos vertical y horizontal esta coloración, como lo podemos ver en la figura siguiente, y llegaremos a que en los tableros de nxn con n > 5, las posibles posiciones de la casilla con signo “-“ nos queda sólo en lasesquinas del tablero y con una sola operación le cambiamos en signo y todas las casillas del tablero pasarían con signo “+”.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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8. Un niño tratando decompletar un puzzle ha colocado tres de sus piezas (todas con la misma forma de tromino) que ocupan las posiciones que muestra la figura. ¿Será posible completar el puzzle con esas tres piezas fijas?
Nota: Las fichas no se pueden superponer.






Respuesta:

Notemos que dicho tablero es de 9x9, por lo que sería 27 piezas cada una ocupando 3 casillas del tablero. Si empleamos unacoloración de dos colores Blanco y Rojo como se indica en la figura, donde también están presentes las tres piezas colocadas por el niño.

Entonces notaremos que ninguna de las tres piezas colocadas ocupa alguna de las casillas rojas y que por demás cada casilla roja será cubierta por piezas distintas, de ser posible tal cubrimiento del tablero, gracias a forma de las fichas.





Bajo estascondiciones la cantidad de piezas a utilizar nunca será menor que la cantidad de casillas rojas (25) más tres por las fichas ya puestas, o sea 28 lo cual entra en contradicción total con que sea realmente 27 piezas para cubrir el tablero de 9 x 9 puesto que 3 x 27 = 81. Por tanto tenemos que la operación de cubrir el tablero con las piezas del puzzle apoyados en las colocadas por pepito es imposible....