Pensamiento relacional

PENSAMIENTO RELACIONAL Y MATEMÁTICAS
La matemática puede ser conceptualizada como una ciencia cuyo objetivo es el establecimiento de
relaciones de muy diversos tipos. Estas relaciones, que implican operaciones formales, tienen lugar
entre objetos, reales o no, y se traducen a través de un lenguaje simbólico, que le es propio, a modelos
que las generalizan y representan desde los cualeslas situaciones de partida se obtienen por
particularización.
Es posible identificar dos procesos relacionales diferenciables. Uno de ellos es el que tiene lugar
cuando las relaciones progresan desde los datos, situaciones de partida o condiciones suficientes y, en
general, desde las causas, en la búsqueda de las soluciones, situaciones finales o condiciones
necesarias, es decir hacialos efectos. El otro progresa en sentido contrario, esto es, en general desde
los efectos a las causas.
Estas formas relacionales se presentan de forma entremezclada, casi conjunta y componen pasajes
que permiten alcanzar el objetivo de la situación problemática a la que pertenecen. Estos procesos se
identifican con los constitutivos de la reversibilidad de pensamiento piagetiana para elcaso de los
cálculos algorítmicos.
En este trabajo se muestran varias situaciones en las cuales ambos procesos se identifican. Esta
identificación permite emprender el problema didáctico de examinar cómo ambos inciden en el
aprendizaje así como la influencia recíproca y la dificultad relativa entre ambos. 4
DOS EJEMPLOS PARADIGMÁTICOS. EL MÉTODO PROGRESIVO-REGRESIVO DE
DEMOSTRACIÓN YLOS PROCESOS DE ANÁLISIS Y SÍNTESIS
Al analizar el método por demostración progresivo-regresivo, Solow (1992) identifica y separa
pasajes que el razonador debe resolver respondiendo a dos tipos de preguntas. Uno de estos tipos son
las preguntas de la forma: “¿qué tengo cuando tengo...?” mientras el otro tipo son preguntas de la
forma: “¿qué debería tener para tener...?”
Desde laperspectiva relacional ambos tipos de preguntas ponen de relieve dos tendencias inversas en
cuanto a que, bajo la primera formulación, se camina desde las condiciones necesarias hacia las
suficientes, en tanto que bajo la segunda formulación se camina en sentido contrario, esto es, desde
las condiciones suficientes hacia las necesarias.
EL MÉTODO PROGRESIVO-REGRESIVO DE DEMOSTRACIÓNOrdinariamente, las demostraciones matemáticas presentan una importante omisión. Utilizan principios o
reglas de inferencia que no están explícitamente formulados y de los que muchas veces no se tiene
conciencia. Dice Daniel Solow en su libro "Cómo entender y hacer demostraciones en Matemáticas":
La mayoría de los procedimientos de demostración en matemáticas, tienen por objeto la verificación deuna proposición del tipo A ⇒ B. El método progresivo-regresivo (Solow 1992) es asimilable a un gran
laberinto de ideas que tiene comienzo en A y salida en B, estableciendo un camino de conexión,
posiblemente de entre muchos, que se recorre simultáneamente de A hacia B y de B hacia A. Al tratar de
determinar cómo llegar a la conclusión de que B es verdadero, usamos el proceso regresivo, entanto que,
cuando hacemos uso de la información contenida en A, estamos usando el proceso progresivo.
El proceso de demostración se comienza regresivamente, planteando lo que Solow llama una "pregunta
de abstracción" que consiste siempre en un planteamiento de la forma: "¿cómo o cuándo puedo concluir
que la proposición B es verdadera?". La pregunta debe ser formulada de un modo abstracto,general y sin
hacer referencia alguna al problema concreto que la suscita. La respuesta a la pregunta de abstracción es
un proceso de dos fases. Primero hay que dar una respuesta abstracta. Después hay que aplicar esta
respuesta a la situación específica. Ambas fases constituyen el llamado "proceso de abstracción" y ha
proporcionado una nueva proposición B1, con la propiedad de que si se...