Pep 1 Sem2 20141

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DMCC
PAUTA PRIMERA PRUEBA PARCIAL
Algebra 1
Santiago, 23 de octubre de 2014

1. Sea el conjunto {ak / k ∈ IN } definido recursivamente por
a1 =3
3
; ai +1 =
4
4 − ai

∀n ∈ IN . Demostrar que an =

3n +1 − 3
∀n ∈ IN .
3n +1 − 1

Solución: Para n = 1 tenemos
31+1 − 3 6 3
a1 = 1+1
= = ; se cumple
0,3 puntos
3 −1 8 4
Supongamos que la proposiciónse cumple para n y valores menores que
3 n +1 − 3
3n+2 − 3
n, entonces a n = n+1
por demostrar que a n+1 = n + 2
3 −1
3 −1
0,3 puntos
Tenemos:
3
an +1 =
=
4 − an

3
4−

n +1

3 −3
3n +1 − 1

=

4(3n +1

3
3
3
=
= n+2
n +1
n +1
− 1) − (3 − 3) 3 ⋅ 3 − 1 3 − 1
3n +1 − 1
3n + 1 − 1
3n +1 − 1

3(3n +1 − 1) 3n + 2 − 3
.
= n+ 2
= n+ 2
3 −1
3 −1

2.

0,9 puntos

a+b
b+c
,b,
son tres números enProgresión armónica. Probar que
2
2
a, b y c están en progresión geométrica.

Si

Solución:
a+b
b+c
2
1
2
Si
,b,
están en PH entonces
, ,
están en P A
2
2
a+b b b+c
0,4 puntos
1
2
2
1
a + b − 2b 2b − b − c
a−bb−c
Luego: −
=
− ⇒
=
⇒
=
0,6 puntos
b a+b b+c b
b( a + b)
b(b + c)
a+b b+c

desarrollando se llega a la igualdad : ac = b 2 ⇒

b c
= ⇒ a, b, c están en PG
a b
0,5 puntos

n

1 

3. En eldesarrollo de  x x + 4  , encontrar el término independiente de x,
x 

si se sabe que el coeficiente del tercer término es mayor que el coeficiente
del segundo término en 44 unidades
Solución:
n

3 11
n nn n
  32 n − k
  2 n− 2 k

1 
−4 k
⋅ ( x ) = ∑   ⋅ x
x x +
 = ∑  ( x )
k
k
x4 

k =0  
k =0  

n
n
Coeficiente 3º término:   ; Coeficiente 2º.término:  
 2
1
 n n
n2 − n
⇒   =   + 44 ⇔
= n + 44 ⇔ n 2 − 3n − 88 = 0 ⇒ n = 11 ∨ n = −8
2
1
2
   
0,6 puntos
11
n
11 11
  33 − 11 k
1  
1 

Como n ∈ IN ⇒ n = 11 . Luego  x x + 4  =  x x + 4 = ∑   ⋅ x 2 2
x 
x  

k =o k 
0,6 puntos
11
El término independiente de x es  
k
33 11
− k = 0 ⇔ k = 3.
Es decir:
2
2

donde k es tal que
11
  = 165
 3

0,3 puntos

4. Una...