Pep 3 calculo 2011

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia, Depto. de Matem´tica y C.C. a Departamento de Matem´tica y C.C. a Asignatura: C´lculo Anual Ingenier´ Civil a ıa PEP 3, A˜o 2011 n

( ) Problema 1. (15 pts.) Sea f (x) = ln 1 + (cos x)4 . (1.1) Calcule d f (x). dx

(1.2) Determine los valores de x ∈ [0, 2π[, donde la recta tangente a f es paralela al eje X. ( π ( π )) (1.3) Encuentre laecuaci´n de la recta normal a f en el punto o ,f . 2 2 Problema 2. (15 pts.) Hallar las dimensiones del rect´ngulo de ´rea m´xima que puede inscribirse a a a en un tri´ngulo rect´ngulo de catetos 5 y 12 e hipotenusa 13, si un v´rtice del rect´ngulo est´ sobre a a e a a la hipotenusa. Problema 3. (15 pts.) Sea V (x) funci´n, con x ∈ [0, 4]. Suponga que V (0) = 0, V ′ (0) = 12 y o ′′ (x) = 4x − 10. V(3.1) Encuentre m´ximos y/o m´ a ınimos y puntos de infexi´n. o (3.2) Encuentre a, b ∈ [0, 4] tal que, para todo x ∈ [0, 4], V (a) ≤ V (x) ≤ V (b). (3.3) Determine intervalos de crecimiento y de concavidad. (3.4) Bosqueje el gr´fico de V (x). a Problema 4. (15 pts.) Calcule las siguientes integrales (responda s´lo dos de los tres ´ o ıtems). ∫ (4.1) e3x sen x dx ∫ (4.2) ∫ (4.3) √ ( x + x + 1)2 √ dxx cos x √ dx. (sen x)2 + π

PAUTA PEP 3
( ) Problema 1. (15 pts.) Sea f (x) = ln 1 + (cos x)4 (1.1) Calcule d f (x). dx d f (x) = f ′ (x) = dx = = = = )] d [ ( ln 1 + (cos x)4 dx ) 1 d( · 1 + (cos x)4 1 + (cos x)4 dx 4(cos x)3 d · (cos) 4 dx 1 + (cos x) 4(cos x)3 · (− sen x) 1 + (cos x)4 −4(cos x)3 sen x 1 + (cos x)4

(1.2) Determine los valores de x ∈ [0, 2π[ donde la recta tangente a f esparalela al eje X. Una recta tangente paralela al eje X, se caracteriza por tener pendiente igual a cero, entonces los valores de x ∈ [0, 2π[, para los cuales la recta tangente a f sea paralela al eje X, se obtienen al resolver la ecuaci´n o

f ′ (x) = 0 ⇔

−4(cos x)3 sen x =0 1 + (cos x)4 ⇔ (cos x)3 sen x = 0 ⇔ (cos x)3 = 0 ∨ sen x = 0

⇔ cos x = 0 ∨ sen x = 0 (2k + 1)π ⇔ x= ∨ x = kπ ; k ∈Z 2 π 3π ⇔ x= ∨ x= ∨ x=0 ∨ x=π 2 2 (1.3) Encuentre la ecuaci´n de la recta normal a f en el punto o . 2 2 Del item anterior tenemos que para la coordenada x = π , la recta tangente a f es paralela al 2 eje X, por lo tanto, se deduce que la recta normal en ese punto ser´ una recta paralela al eje Y a ( π ( π )) (vertical) y que pasa por el punto 2 , f 2 . Esta recta es x= π 2 (π ,f ( π ))Problema 2. (15 pts.) Hallar las dimensiones del rect´ngulo de ´rea m´xima que puede inscribirse a a a en un tri´ngulo rect´ngulo de catetos 5 y 12 e hipotenusa 13, si un v´rtice del rect´ngulo est´ sobre a a e a a la hipotenusa. Consideremos es esquema siguiente
X

(0,5)

recta: y=5 - (5/12)x

y

A(x,y) Y x (12,0)

El ´rea del rect´ngulo esta dada por A(x, y) = xy, las variables x e y serelacionan mediante la a a ecuaci´n de la recta que forma la hipotenusa del tri´ngulo rect´ngulo. Determinemos esta recta o a a y2 − y1 La recta que pasa por dos puntos es: y − y1 = (x − x1 ). Si consideramos los puntos x2 − x1 (x1 , y1 ) = (0, 5) y (x2 , y2 ) = (12, 0), la recta es y−5= 0−5 (x − 0) 12 − 0 ⇒ y =5− 5 x 12

Observaci´n Otra forma de relacionar las variables x e y, es por medio detri´ngulos o a semejantes, esto es, se tiene la relaci´n o 5 y 5 = ⇔ 5(12 − x) = 12y ⇔ y = 5 − x 12 12 − x 12 Con esta relaci´n entre x e y, el ´rea la podemos escribir como funci´n de x, esto es o a o ) ( 5 5 A(x) = x 5 − x = 5x − x2 12 12 Derivando e igualando a cero 5 A′ (x) = 5 − x = 0 6 ⇒ x=6

5 5 Lo que implica y = 5 − ·6= 12 2 Seg´n el criterio de la segunda derivada para m´ximos y/o m´ ua ınimos tenemos 5 5 A′ (x) = − < 0 ⇒ A′ (6) = − < 0 6 6 Lo que asegura que para las dimensiones encontradas el ´rea del rect´ngulo inscrito es m´xima. a a a

Problema 3. (15 pts.) Sea V (x) funci´n, con x ∈ [0, 4]. Suponga que V (0) = 0 , V ′ (0) = 12 y o ′′ (x) = 4x − 10. V (3.1) Encuentre m´ximos y/o m´ a ınimos (locales y globales) y puntos de infexi´n. o Para determinar m´ximos y/o m´ a...