Pep Topicos 1

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas y Ciencia de la Computación

Tópicos de Matemática IPrueba N°2 (1 Semestre 2009) Problema 1
a. Defina Interpolación Polinomial y encuentre un polinomio que interpole en los puntos: P (1,0), P (2,2),P (3,1) . b. Determine el polinomio de interpolación que tiene una raíz doble en x = 1 , que interpola a f ( x) = e x en x = 0 y x = 2 y ademásp ' ( 2) = 2 .

Problema 2
Usando el método de mínimos cuadrados con el modelo Φ ( x) = y = ax + be x encuentre el residuo (error) en x = 2. Use los puntos P (1,0), P ( 2,2), P (3,1) .

Problema 3
Considere el método iterativo:

xi

(k )

= (1 − ω ) xi

( k −1)

+ 2ω∑ aij x j
j =1

i −1

( k −1)

− ω ∑ aij x j
j =i +1

n

(k )

+ bi

Y el sistema de ecuaciones lineales:

 3 1   x  7   − 1 2   y  = 0       
a. Exprese en forma vectorial el método para ω = 0.5 b. Determine el error cometido para x ( 2 )iniciando con x ( 0 ) =   , usando norma infinito  1   c. Analice la convergencia del método.

 1

Problema 4
Determine los valores de A,B y C que hagan que la expresión:

∫

2

0

xf ( x)dx ≈ A ⋅ f (0) + B ⋅ f (1) + C ⋅ f (2)

sea exacta para todos los polinomios degrado tan alto como sea posible. ¿Cuál es el grado máximo?. Use esta fórmula para calcular

∫
y estime el error.

1

0

x dx