Pequeño Trabajo Sobre Hiperbola

Definición
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Historia
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo dondedemuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.Descartes examina con detalle un lugar geométrico solo una vez, y es en conexión con el problema del lugar de las tres y cuatro rectas de Pappus del que obtiene la ecuación y2= ay-bxy+cx-dx2. Ecuación general de una cónica que pasa por el origen de coordenadas. Descartes presenta condiciones sobre los coeficientes para que la cónica sea una recta, una parábola, una elipse o una hipérbola, él sabia queeligiendo adecuadamente tanto el origen de coordenadas como los ejes, podía reducirse la ecuación a la forma mas sencilla, pero el hecho es que no da ninguna de las formas cónicas.
Tras la traducción al latín en 1649 de Geometría de Descartes por parte de Van Schooten, la geometría cartesiana adquiere un rápido desarrollo y se logra demostrar las ecuaciones que representan a las hipérbolas,parábolas y elipses. Pero es en 1658 que Jan de Witt reduce todas las ecuaciones de segundo grado en x e y a formas canónicas, por medio de rotaciones y traslaciones de los ejes. De Witt sabia como reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse, cuándo una parábola o cuándo una hipérbola, según que el llamado discriminante fuera negativo, positivo o nulo

Propiedades métricas
1. Dada unarecta perpendicular al eje de simetría que corte a la hipérbola en dos puntos simétricos P y P´, dicha recta corta a las asíntotas en otros dos puntos simétricos R y R´.
Entonces se cumple que:
PR . PR´ = P´R. P´R´= b²

2. Para cualquier punto de la hipérbola el producto de distancias a ambas asíntotas es constante.
PQ . PQ´ = a²b²/ a²+b²
3. Trazado de la hipérbola por puntos
Siconocemos los focos y el parámetro a, basándonos en la definición podemos hacer una construcción sencilla.
Haciendo centro en un foco F y tomando un radio cualquiera r, trazamos una circunferencia. A continuación hacemos centro en el foco F´ y tomamos radio 2a+r. Los puntos de intersección de ambas circunferencias pertenecen a la hipérbola. Variando el radio r, obtendremos todos los puntos que queramosde la rama de la derecha. Para la rama de la izquierda tomamos en F´ el radio r y en F el radio 2a+r.

Aplicaciones en la vida
Propiedad Óptica:
La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f’. Este principio se usa en lostelescopios del tipo Cassegrain.

Sistema de navegación LORAN:
La propiedad de la definición de la hipérbola – “la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es una constante” - se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco enaltamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el...