Percolacion

PERCOLACIÓN

1

¿Qué es percolación?

Próximos vecinos:
cuadrados con lado común (nn)
Siguientes próximos vecinos:
cuadrados con vértice común(nnn)
2

Cluster: Grupo de cuadrados nn ocupados.
Teoría de la Percolación: Propiedades de los
clusters.
Percolación random: cada sitio de la red se ocupa
aleatoriamente con probabilidad p.
Ejercicio Escribir un programa que “dibuje” los
sitios ocupados yvacíos en un retículo 15x15 para p = 0.3, p = 0.5 y p = 0.7. Identificar los clústers mayores.
3

p=0.300000

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0

4

p=0.500000

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5

p=0.700000

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0
0

6

Para p = 0.7 sólo hay 4 clusters.
Cluster percolante: ocupa casi todo el retículo
Probabilidad crítica pc donde aparece por primera vez clusterpercolante
Fenómenos críticos: fenómenos cerca de pc.
Teoría de scaling escala: trata de describirlos.
Si L ≈ 106 sitios, necesitamos un ordenador
para analizar los clusters.
7

Aplicaciones:
1.-Fuego en los bosques
Simular un bosque por una red cuadriculada.
Cuadrado ocupado: árbol verde.
¿Cuánto tiempo tarda un fuego en penetrar en el bosque o en extinguirse?
Simulación:
Encender todos los árboles dela primera fila
Recorremos la red (bosque) por filas de izda. a derecha
Un árbol encendido prende a su vecino nn a la derecha y al de abajo (si existen).
Al cabo de un barrido completo el árbol está quemado no puede seguir encendiendo
a los vecinos.
Fuego termina cuando no quedan árboles encendidos o el fuego llega a la última fila.
La “vida” del fuego es el número de barridos necesarios para queel fuego termine.
Resultado:
Existe un valor crítico de p (ocupación) cerca de 0.5928 para el que la vida del fuego
8

aumenta. De hecho aumenta con el tamaño del bosque

T

0.4

0.5

0.6 p
9

2.-¡Buscar petróleo!

Simular un material poroso que contiene gas o petróleo.
Cuadrado ocupado: petróleo.
La probabilidad de ocupación p se llama porosidad de la roca.

Resultado:
Si p < pc el petróleoestá distribuido en clusters finitos.
Si p < pc al perforar al azar lo más probable será pinchar un cluster pequeño y el
pozo será poco rentable.
Para ganar dinero hay que perforar si p > pc.
10

Solución exacta en d = 1

La probabilidad de que un punto de la red (cadena ahora) sea el extremo izdo. de
un cluster de 4 es
4
2
p (1 − p)
Si L → ∞ #4-clusters= Lp4(1 − p)2 (sin efectos de borde)
Densidadde s-clusters: ns = ps(1 − p)2
ns: Probabilidad de que un punto arbitrario de la cadena sea el extremo izdo. de un
cluster de s elementos.
En d = 1 si p < 1, algún punto de la cadena está vacío.
Por lo tanto en d = 1 pc = 1

P
Se cumple que s sns = p, p < pc(∗)
Demostración:
La probabilidad de que un sitio arbitrario pertenezca a un s-cluster es sns
Todo sitio ocupado pertenece a un cluster
11...