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TRANSFORMACIONES
Introducción
Aquí llamaremos transformación a una función que hace corresponder cada punto del espacio con otro punto del (mismo) espacio. P = T(P) Ahora, ¿a que nos referimos con punto y espacio? En computación gráfica modelamos el espacio euclídeo tridimensional común y silvestre, pero en matemáticas los conceptos de punto y espacio tienen que ver con cuestiones máscomplicadas sobre conjuntos, topologías y métricas. No podemos (ni debemos) meternos aquí en la generalidad del tema, pero necesitamos utilizar (aprovechar) algunos desarrollos matemáticos. En principio, uno podría realizar cualquier transformación sobre todos los puntos de un objeto, una continua (botella → botella con un nudo en el cuello) o una discontinua (botella → botella rota), pero aquítrataremos con un conjunto limitado solamente a unas pocas transformaciones continuas: mover, estirar, rotar y proyectar un objeto. Esas operaciones tienen la ventaja de que se pueden representar con una matriz y que se pueden combinar multiplicando de antemano las matrices de transformación, y así evitar la miríada de operaciones que llevaría hacerlas una por una. Cualquier transformación ad-hoc, queno sea representable mediante matrices, también puede realizarse, pero en un procedimiento aparte que deberá ser programado para tal fin. Para acumular todas estas transformaciones en una misma matriz necesitamos revisar algunos conceptos conocidos y a partir de ellos analizar algunos que seguramente no se han visto previamente.
Notación:
Reales: (a) minúsculas o (α) griegas Puntos: (P)mayúsculas Vectores y matrices: (a) minúsculas negritas, de componentes reales aij en la fila i y columna j. Transformaciones: (A) mayúsculas inclinadas Elemento transformado: (P o v) subrayado Conjunto o coordenadas o componentes: {a,b,c} o {x,y,z} entre llaves y horizontal, aunque es un vector columna. Intervalo [a,b) entre corchetes o paréntesis según el estándar cerrado/abierto. Delta de Kronecker δij =δij un real que vale 1 si i=j y 0 si i≠j. Por medio de Σjn aij vj se representa el producto estándar de una matriz por un vector columna La sumatoria se hace para los n índices j variando de 1 a n o bien de 0 a n-1 (C++). Cuando resulta obvio se omiten la n, o la j o incluso la sumatoria; según la convención de Einstein se considera que hay una sumatoria por cada par de índices iguales si uno essubíndice y el otro superíndice: en Rn, aij vj ≡ Σjn aij vj. Los elementos a sumar pueden no ser reales, ej.: v = viei indica que v es un vector formado por la suma de los n productos de sus componentes reales vi y los vectores de la base ei. Las confusiones son Rn (“R a la n”, el espacio vectorial real de n dimensiones) y en general las potencias, que podrían confundirse con superíndices. Paraevitar las confusiones, las potencias suelen ponerse después de encerrar las componentes entre paréntesis: (vj)2, pero se pueden omitir cuando resulte obvio, ej.: v2 o a-1. La distinción entre subíndices (índice de columna o ítem) y superíndices (índice de fila o de componente cartesiana) es seguramente algo novedoso y complicado, pero es un salvavidas para simplificar el algebra de matrices, queusaremos aquí y la de tensores, que usarán en materias con mayor contenido físico.

Espacio Vectorial lineal, combinación lineal y transformación lineal:
En el espacio vectorial Rn los elementos son vectores, n-uplas de números reales y se definen las operaciones de suma entre vectores y multiplicación por un escalar, con una determinada axiomática. Con esas dos operaciones se puede realizar unacombinación lineal de m vectores: v = ∑m αi vi El espacio vectorial n-dimensional se caracteriza mediante una base de n vectores ei linealmente independientes (LI). Un conjunto de vectores es LI si ninguno se puede escribir como combinación

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lineal del resto: {ei} LI ⇔ ( ∑n αi ei = 0 ⇒ αi = 0 ) (no se puede despejar uno en función del resto) Cualquier vector se puede escribir como una...