perito contador

Integración numérica
Hay muchas situaciones en la que es preciso aplicar procedimientos numéricos para obtener la integral definida de una función. Entre ellas:
Método del punto medioEl procedimiento del trapecio
El procedimiento de Simpson

Método del punto medio
El método del punto medio es muy fácil de entender, ya que aproxima la integral definida
∫abf(x)dx
porla suma de pequeños rectángulos. Como se ve en la figura el área de cada rectángulo es f(xm) ·Δxi, donde xm=(xi+1+xi)/2 es la posición intermedia entre xi y xi+1.




Fórmula deltrapecio

Para calcular la integral definida de la función f(x) en el intervalo comprendio entre x0 y x, dividimos este intervalo en pequeños intervalos de longitud h=xi+1-xi. Sustituimos lafunción por la recta que une los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1). El área sombreada en la figura es la suma del área de un rectángulo más el área de un triángulo, valeh⋅yi+12h⋅(yi+1−yi)=12h⋅(yi+1+yi)
El área total aproximada bajo la curva es
h2(y1+y2)+h2(y2+y3)+h2(y3+y4)+...+h2(yn−2+yn−1)+h2(yn−1+yn)=h2(y1+2y2+2y3+2y4+...+2yn−2+2yn−1+yn)
El método de Simpson (1/3)
En esteprocedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2).Calculamos la contribución a la integral del primer intervalo (x0, x0+2h) y generalizaremos para el resto de los intervalos.
La ecuación de la parábola y=ax2+bx+c que pasa por los puntos (x0,y0), (x0+h, y1), (x0+2h, y2) es
y0=ax20+bx0+cy1=a(x0+h)2+b(x0+h)+cy2=a(x0+2h)2+b(x0+2h)+c
Este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se reduce ay1=y0+2ax0h+ah2+bhy2=y0+4ax0h+4ah2+2bh
Despejamos el coeficiente a, y 2ax0+b
a=y2−2y1+y02h2  2ax0+b=4y1−3y0−y22h
Sustituimos la curva por la porción de parábola en el intervalo (x0, x0+2h). La integral vale....