Perito








INTRODUCCIÓN.

Como sabemos, las matemáticas rigen todo evento o fenómeno que puede suceder en nuestro medio físico. El siguiente informe explica el modelado de un evento simple, como es el drenado de un recipiente por un orificio en la parte inferior, empleando ecuaciones diferenciales. Se detallará el razonamiento por el cual se determina la ecuación diferencialcorrespondiente, y el procedimiento que se llevo a cabo para realizar una prueba real con la cual enfrentamos práctica y teoría.













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MARCO TEÓRICO.

Para esta demostración consideraremos un recipiente, con una sección transversal “A” que contendrá agua hasta una altura “h”, la cual está fluyendo por un orificio, en forma circular de área “a”. Nuestro objetivo, es determinar unaecuación para la altura del nivel del agua “h” en funcion del tiempo “t”.
El recipiente puede tener cualquier forma, pero ya que nos concentraremos en el modelado del evento, utilizaremos un recipiente de forma cilíndrica cuya generatriz (sección transversal) es un círculo.
Una de las aplicaciones de la ecuacion de Bernoulli es determinar la velocidad “v” con que es drenado un recipiente, en lasmismas condiciones que nuestro caso. De esta ecuación obtenemos:
V=
Donde P es la presión que hay dentro del recipiente, es la presión atmosférica (que es la que afecta al agua que está saliendo del recipiente por el orificio) y es la densidad del líqudo.
Se nos presentarán dos casos:
CASO 1: cuando el recipiente esté cerrado y P>>. Tendremos tambien que 2gh -> 0 entonces:
V=
CASO 2:cuando el recipiente esté abierto y P=. Tendremos entonces:
V=
Esta es la comprobación de la ley de Torricelli, pues él determinó esta fórmula basando su análisis en hallar la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. Con lo cual llegó a la misma ecuación.
Ya que en nuestra demostración usaremos un recipiente destapado o abierto,usaremos la ley de Torricelli, donde observamos que la velocidad con que el líquido sale del recipiente depende de la altura que tenga el líquido dentro del mismo, en ese instante.
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá
V=2
donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1)

Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad “v” del agua drenada, esto esSustituyendo “v”:

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales (o método de discos) se obtiene

Derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo

Hemos determinado dos ecuaciones para . Las cuales, al igualarlas nos generan la ecuación diferencial correspondiente al drenadode un tanque:

La cual es una ecuación diferencial de primer orden que podemos resolver por el método de variables separables.





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MARCO PRÁCTICO.

Para esta demostración utilizaremos un recipiente cilíndrico de 7.5cm de radio, al cual le haremos una perforación circular de 2.5mm de radio en la parte inferior, para drenar el líquido (en nuestro caso será agua), como se ve en lafigura. El recipiente nos ha condicionado una altura máxima, entre el nivel más alto que puede alcanzar el agua y el orificio, de 13.5 cm.
R=7.5cm




13.5cm




La ejecución de la prueba es tan simple como habilitar el flujo del agua por el orificio y medir el tiempo que demora en vaciarse, o alcanzar determinada altura. Para enfrentar dicho...