Permacultura

Capítulo 13
Números de Fibonacci y de Lucas

Tuvo esposas Fibonacci mas,
que comer nada comían (pastas aparte). Tanto así pesaba cada una como
juntas sus dos antecesoras
¡Era la quinta una gran signora!
J. A. Lindon |

Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más grande de todos fue sin duda Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci, que significa «hijo de Bonaccio»(véase la Figura 66).

Figura 66. Leonardo Pisano Fibonacci, nació en 1170, probablemente en Pisa, falleció en 1250, probablemente en Pisa

A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era empleado en una factoría mercantil italiana asentada en Bougie, en Argelia, fue allí donde el joven Leonardo recibió su primera formación matemática, a cargo de maestros musulmanes. Pronto se dio cuentade la enorme superioridad de la notación decimal indo arábiga (provista ya de cifras cuyos valores dependen de su posición, y de símbolo para el cero) sobre el engorroso sistema de numeración romana, empleado todavía en su país natal. La más conocida de sus obras, Liber abaci (literalmente , Libro del ábaco ) era en realidad un amplio tratado del sistema de numeración indo arábigo, mas susrazonamientos no parecieron causar demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Con el tiempo, su libro llegó a ser, empero, la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo arábiga. El Liber abaci fue concluido en Pisa en 1202; hasta nosotros ha llegado una edición revisada, de 1228, dedicada a un famoso astrólogo cortesano de laépoca.
No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, sea hoy conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard Lucas, interesado por la teoría de números (y recopilador de una clásica obra de matemáticas recreativas, en cuatro volúmenes), quien encadenó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica que forma partede un problema trivial del Liber abaci . Imaginemos, escribía Leonardo, un par de conejos adultos, macho y hembra, encerrados en un cercado, donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento, engendrando siempre un único par macho-hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más, de iguales características.Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos contendría el cercado al cabo de un año?

Figura 67. Árbol genealógico de los conejitos de Fibonacci

El gráfico arborescente de la Figura 67 nos muestra qué sucedería durante los cinco primeros meses. Es fácil observar que al término de cada mes los números de pares van formando la sucesión 1, 2, 3, 5, 8... donde cada número (comoel propio Fibonacci hizo notar) resulta de sumar los dos que le anteceden. Al cabo de los 12 meses tendremos 377 pares de conejos.
Fibonacci no investigó la sucesión, que tampoco recibió ningún estudio serio hasta comienzos del siglo pasado. Hacia esa fecha los artículos dedicados a ella empezaron a proliferar, son palabras de un matemático, como los conejitos de Fibonacci. Lucas efectuó unprofundo estudio de las llamadas sucesiones generalizadas de Fibonacci, que comienzan por dos enteros positivos cualesquiera y a partir de ahí, cada número de la sucesión es suma de los dos precedentes. Lucas dio el nombre de sucesión de Fibonacci a la más sencilla de estas sucesiones, a saber, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (la inmediatamente más sencilla, 1, 3, 4, 7, 11, 18..., es hoy conocida porsucesión de Lucas). Tradicionalmente, la posición que cada número ocupa dentro de una sucesión se denota mediante un subíndice, y de esta forma,
F 1 = 1
F 2 = 1
F 3 = 2

y así sucesivamente. (Se da la lista de los primeros cincuenta números de Fibonacci en la Figura 68.) F n denota el n -ésimo número de Fibonacci; F n-1 es el número que antecede a F n ; F 2n , es el número de Fibonacci...