PERMUTACIONES CON REPETICION.

En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtenerlas permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.

Ejemplo:
Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.
Solución:Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O, por lo que quedaría, O1SO2, y laspermutaciones a obtener serían:

3P3 = 3! = 6

definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S

¿Pero realmentepodemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

Como:
Arreglos reales
O1SO2 = O2SO1® OSO
SO1O2 = SO2O1 ® SOO
O1O2S= O2O1S ® OOS


Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones conlas letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando lasconsideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.

Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión:


El número de arreglos reales = No. de permutacionesconsiderando a todos los objetos como diferentes
Los cambios entre objetos igualesEl número de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3


Por tanto la fórmula a utilizar sería;


Donde:...