Permutaciones METODO SENCILLO

PERMUTACIONES

página 1

TEMA 1

PERMUTACIONES
DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de maneras en que se pueden ordenar dichos elementos se llaman permutaciones.1
Por ejemplo, sea el conjunto {a, b, c, d} de cuatro elementos. Las posibles formas en que se pueden
ordenar esos cuatro elementos son:
abcd
abdc
acbd
acdb
adab
adba

bacd
badc
bcad
bcda
bdac
bdca

cabd
cadbcbad
cbda
cdab
cdba

dabc
dacb
dbac
dbca
dcab
dcba

es decir, en total hay 24 formas diferentes de ordenarlos. Se dice entonces que existen 24 permutaciones
posibles.
En el estudio matemático de las permutaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son.
A pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significapermutaciones.
FACTORIAL: El producto de un número entero positivo n por todos los que le anteceden, se llama
factorial del número n. Su símbolo es n!
Por ejemplo, el factorial de 5, escrito 5!, es el producto de 5 por todos los números enteros
positivos que le anteceden, o sea

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
1

La palabra "permutar" significa, en el idioma Español, cambiar el orden o disposiciónde alguna cosa. También
significa "cambiar una cosa por otra", siempre y cuando una de esas cosas no sea dinero.

página 2

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

PERMUTACIONES SIN REPETICIONES
Existen dos tipos de permutaciones: Sin repeticiones y con repeticiones. Se refiere al hecho de que
en el conjunto de objetos que se van a permutar haya o no cosas repetidas. Aquí se comenzará con el
casomás sencillo que es cuando todos los objetos son diferentes, o sea sin repeticiones.
CUANTIFICACIÓN
Para obtener cuántas son las permutaciones de n elementos, se deben realizar los siguientes pasos:

1.-

A cada lugar que va a ser ocupado por un elemento se le asigna una equis o una
cruz.

2.-

Se analiza cuántos elementos pueden ocupar cada uno de los lugares, comenzando por aquellossitios que están condicionados por el enunciado.

3.-

Se coloca abajo de la cruz o de la equis correspondiente el número de maneras
que puede ser ocupado cada lugar.

4.-

Se coloca alguna letra arriba de la cruz correspondiente para especificar el (los)
elemento(s) exclusivo(s) que deberá(n) ocupar ese sitio, conforme a las condiciones del enunciado.

5.-

El producto de todos losnúmeros situados abajo de las cruces es el número total
de permutaciones buscado.

6.-

En caso de que la situación se repita k veces, se encierra en un paréntesis todo
lo anterior y afuera se coloca el número k para indicar la multiplicación respectiva.

Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los elementos { a, b, c, d } ?
Solución:

Primero obsérvese que todos los elementosson diferentes, por lo tanto se trata de un caso de permutaciones sin repeticiones. Como son 4 elementos, hay cuatro lugares que van a ser ocupados por
cada uno de ellos. Se ponen cuatro cruces o equis, de la siguiente manera:

×

×

×

×

El primer sitio de la izquierda puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro elementos; una vez
ocupado ese primer sitio por cualquiera de loscuatro elementos, el siguiente lugar ya solamente

PERMUTACIONES

página 3

podrá ser ocupado por uno de los tres elementos restantes; una vez ocupado ese segundo sitio por
cualquiera de los tres elementos que quedaban, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado
por uno de los dos elementos restantes; finalmente, una vez ocupado ese tercer sitio por cualquiera
de los dos elementosque quedaban, el último lugar podrá ser ocupado por el elemento restante:

El producto de esos cuatro números es el número de permutaciones posibles con esos cuatro elementos, o sea
4 × 3 × 2 × 1 = 24

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila de cinco sillas, Alberto, Benito, Carlos, Dora y
Elena,
a) en total;
b) si Alberto no puede ir en ninguno de los dos extremos de la...