Permutaciones

PERMUTACIONES
          Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden  es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.
          Elnúmero de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, se designa por:
 
 
Permutación lineal con elementos diferentes
         El número de permutaciones de “n” objetos diferentes,  tomados en grupos de k elementos (siendo k n) y denotado por , estará dado por:
 
                  
 
     
 donde: n, k  N y  0  k  n
EJEMPLO:
          En una carrera de 400 metros participan 12atletas. ¿De cuantas formas  distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?
 Solución:
         Método 1: Empleando el principio de multiplicación

EXPLICACIÓN
1)      El primer casillero(MEDALLA DE ORO) puede ser ocupado por cualquiera de los diez atletas, existiendo 10 posibilidades
2)      El segundo casillero(MEDALLA DE PLATA) puede serocupado por cualquiera de los nueve atletas restantes, existiendo 9 posibilidades
3)      El tercer casillero (MEDALLA DE BRONCE) puede ser ocupado por cualquiera de los ocho atletas restantes, existiendo 8 posibilidades
  
 

                   
Oro      Plata         Bronce
|
| |
           
                    10    x       9       x  8
              # maneras  =720
 
 
 
 
 Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)
* Se busca las diferentes ternas (k = 3)  que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)
 
       
 Permutación lineal con elementos repetidos
        Frecuentemente queremos encontrar el número de permutaciones de objetos donde algunos son similares. La fórmula general para esto, es la siguiente:
          TEOREMA:el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra manera, …. , nr son similares aún de otra manera, es

 de otra forma; el número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer  grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos  iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamentehasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:
           
 

|
|  Donde: n1 + n2 + n3......+ nk = n |
 
 

        
PARTICIONES
 EJEMPLO:
          ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
| | | | | | | | | | | | | |
| | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | || | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
 
 
 SOLUCIÓN:
          Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados), n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1 (un rombo), luego:
 
                              =
 Permutación circular
          Sonagrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con  “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones  sobre la circunferencia relativa alprimer punto.
          El número de permutaciones circulares será:
 
EJEMPLO:
 
         ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?
 SOLUCIÓN:
          Este problema se puede resolver  como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y  segundo las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una...