perparatoria

CALCULO DIFERENCIAL.

RAZON DE CAMBIO.
En geometría analítica, se define la pendiente m de una recta como la tangente de su ángulo de
inclinación o, en forma equivalente, como la razón de cambio en la distancia vertical (elevación)
con respecto al cambio en la distancia horizontal (avance) cuando un punto se mueve a lo largo de
la distancia en cualquier dirección.
Pendiente:
y2

(x2,y2)(x1,y1)
Δy=y2-y1=cambio en y

Ѳ

Δy=y2-y1

y1

Δx=x2-x1= cambio en x

Δx=x2-x1

X1

x2

La pendiente de cualquier recta es una constante, lo que significa que la razón de cambio de y se
mantiene constante en toda la longitud de la recta a medida que x cambia.
La dependiente o inclinación de una línea recta es la razón de dos números reales que indica la
inclinación quetiene una recta con respecto al eje x.
A la razón Δy / Δx se le conoce como razón de cambio de Δy respecto al cambio de Δx.

INCREMENTOS.
Cuando una variable cambia de valor, el aumento algebraico, se denomina su incremento y se
representa por la letra griega Δ ‘’delta’’ antepuesto a la variable.
Así, si x cambia de 2 a 4, su incremento es:
Δx = x2 – x1

;

Δx = 4-2 = 2

1

Si x cambiade 2 a -1, su incremento es:
Δx = x2 – x1

;

Δx = -1 -2 = -3

Asi, el cociente

EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
(Interpretación geométrica de la derivada)
el desarrollo de cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los matemáticos
europeos en el siglo XVII.
1)
2)
3)
4)

El problema tangente.
El problema de la velocidad y aceleración.
El problema de máximos ymínimos.
El problema del área.

Cada una involucra la noción de límite y servirá para introducir el cálculo. Por su naturaleza
geométrica empezaremos por el problema de la tangente.
Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce al hallar su
pendiente.
Una manera de aproximar la pendiente
conciste en determinar las pendientes de rectyas
secantes que pasen porel punto fijo P y el punto móvil Q .
SI P y Q son dos puntos de una continua
Y= f(x), la razón m

es la pendiente de la recta secante PQ.

2

Supóngase ahora que el punto móvil Q se mueve a lo largo de la curva, hacia el punto Pla recta PQ
gira alrededor de P y por lo general tiende a una posición límite PT.
Esta recta PT es la tangente a la curva P.
A medida que Q se aproxima a P Δxse hace mas pequeño, Δx tiende a cero y la pendiente de PQ
tiene ´por limite la pendiente de PT.

Por consiguiente, puede establecer la igualdad:

Si la función y= (fx) es continuas, entonces
La recta tangente a la curva en el punto P(x,f(x)) es:

3

LA DERIVADA DE UNA FUNCION.
Consideremos la función:

Dando a x un incremento

Este incremento tiene por valor:
Δy=f(x+Δx)- f(x)Dividiendo por Δx y tomando limites, resulta:

Si este límite existe, será en general, una función de x. Llamado f’(x) a este límite se tendrá :

Y a este valor f’(x) se llama función derivada de la función primitiva f(x). por lo tanto, la definición
rigurosa es:
La derivada de una función es el límite del incremento de la función entre el incremento de la
variable cuando este ultimo tiendehacia cero.
Si comparamos 1 con 2, obtendremos la interpretación geométrica de la primera derivada de una
función:
ó
La primera derivada de una función es igual a la pendiente de cualquier recta tangente al lugar
geométrico que representa dicha función.
NOTACION.- La primera derivada de una función y=f(x), puede expresarse en cualquiera de las
siguientes formas:
Y’

f’(x)

Todas ellasindican primera derivada de y con respecto x.

4

METODO DE LOS CUATRO PASOS.
Para muchas funciones, obtener su límite es complicado algebraicamente hablando. El siguiente
método o regla de los cuatro pasos es útil como guía. Partiendo de la definición, la función
derivada se obtiene siguiendo cuatro pasos.
1) Se da un incremento a x.
2) se resta f(x).

f(x+Δx)
f(x+Δx)-f(x)

3)...