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Función inyectiva
Una función f de dominio D = Dom(f) es inyectiva cuando a elementos distintos de D le corresponden imágenes distintas:
Si    x1, x2 ∈ D :       x1 ≠ x2     ⇒     f(x1) ≠ f(x2)Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen.





Ejemplo de función inyectiva
a)   Veamos si la función f(x) = 4x - 1 es inyectiva:
Si las imágenes son iguales:               f(x1) = f(x2)     ⇒     4x1 - 1 = 4x2 - 1     ⇒     4x1 = 4x2     ⇒     x1 = x2


, los originales son iguales.
Por tanto, la función f es inyectiva.


Criterio de larecta horizontal
una función es inyectiva si ninguna recta horizontal corta a su gráfica en más de un punto.
b)   Veamos si g(x) = x2 es inyectiva:


Si trazamos rectas horizontales sobre lagráfica,


éstas la corta en más de un punto.


Por ejemplo:  si trazamos la recta  y = 4  :


ésta corta la función en los puntos:  x = 2  ,  x = -2


               g(2) = 4    ,    g(-2) = 4Por tanto, dos elementos distintos, 2 y - 2, tienen la misma imagen.


La función g no es inyectiva.










c)   Veamos si     h(x) = sen x    es inyectiva:


Si trazamosrectas horizontales sobre la gráfica,


éstas la corta en más de un punto.


Por ejemplo:  si trazamos la recta  y = 1  :


ésta corta la función en los puntos:  x = π/2  ,  -3π/2               h(π/2) = 1    ,    h(-3π/2) = 1


Por tanto, dos elementos distintos, π/2 y -3π/2,


tienen la misma imagen.


La función h no es inyectiva.








Función sobreyectiva
Una función f: X → Y  es una función sobreyectiva si:
Im(f) =Y
Esto significa que todo elemento  y ∈ Y  es la imagen de al menos un elemento  x ∈ A . Es decir, la imagen de  f  coincide con el conjunto final.Ejemplo de función sobreyectiva
a)   Veamos si la función  f: R → R , donde  f(x) = x2 + 1, es sobreyectiva:
En este caso:


            El conjunto inicial de f es R ....