Personal

Abril/ 2007
Prof. Nixa González
Matemáticas II (08-1824)
Unidad I
• Cónicas
• Integrales Indefinidas
• Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables


Cónicas:
Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Lamamos superficie cónica derevolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
Definición. Sea L una recta fija del plano,llamada directriz, y F un punto fijo, llamado foco, que no pertenece a la recta L. Se llama cónica al conjunto de todos los puntos P(x,y) que satisfacen la ecuación
[pic] siendo, [pic]: constante positiva llamada excentricidad
P: punto cualquiera sobre la curvaF: foco de la cónica
A: punto situado sobre la directriz
[pic]
[pic][pic][pic]
Parábola [pic] Elipse [pic] Hipérbola [pic]


Parábola ([pic])


Definición: una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias auna recta L y a un punto fijo F son iguales.


Esto es: [pic]


Elementos de una parábola


[pic]


L: directriz PF: radio focal
F: foco BB’: cuerda focal
V: vértice p: distancia del vértice al foco
LL’: lado recto (segmento de recta, perpendicular aleje, que pasa por el foco y esta
acotado por la curva
P(x,y): punto cualquiera sobre la parábola


Gráficamente se observa:


[pic] , [pic] , [pic]
Aplicaciones
Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo lasantenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloidal.
Las parábolas tienen una propiedad, si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, [pic][pic]algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todosestos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergeran o convergerán. Este principio funciona también en lasantenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También, en los telescopios se usa esta propiedad.
Ecuación de la Parábola1) Con vértice en el origen V (0,0)


1-a) Parábola con vértice en el origen (0,0) y abre hacia la derecha (foco en la parte positiva del eje x).

[pic]
Sea p la distancia dirigida [pic]. El foco F (p,0) y la directriz de ecuación x = - p. El punto P (x, y) equidista del foco y de la directriz.

De acuerdo a la condición de la parábola [pic] , recordando la...