Perturbaciones Naturales

Ecuación punto-pendiente de una recta
Una recta queda perfectamente determinada por su inclinación y por un punto contenido en ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado:
Ecuación punto-pendiente
Sea un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:
|
Expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.
Demostración
Para comprobar que estaes la ecuación de la recta, comprobaremos que su pendiente es y que pasa por el punto dado . En efecto:
* Si desarrollamos la expresión de la ecuación punto-pendiente, se obtiene:

de donde se observa que el coeficiente e la x es , y por tanto, la pendiente de la recta.
* Si sustituimos el punto en la ecuación punto-pendiente, es decir, hacemos e , se obtiene

dándose la igualdad,y probando que el punto verifica la ecuación.
Ejemplo: Ecuación punto-pendiente
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3.

En la ecuación punto-pendiente:

sustituimos m = 3, xo = − 2, yo = 4, obteniendo:
y-4=3(x+2) |
Ecuación punto -pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la direcciónpositiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.Ecuación punto-pendiente
Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

Se obtiene:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) ytenga una inclinación de 45°.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Como dos puntos terminan una única recta que pasa por ellos, podemos dar el siguiente resultado:
Ecuación continúa de la recta que pasa por dos puntos
Sean y dos puntos de una recta (que no sea horizontal *), entonces la ecuación de la recta viene dada por la expresión:
|
expresión que se denomina ecuación continuade la recta.
Además, su pendiente es:
.
(* La recta no puede ser horizontal porque si no el primer denominador se anula)
Demostración
En primer lugar calculamos la pendiente de la recta:
.
Ahora escribimos la ecuación punto pendiente:

Sustituimos m por el valor que hemos obtenido y hacemos xo = x1, yo = y1:

Pasamos al primer miembro dividiendo y2 − y1:

Ejemplo: Ecuación dela recta que pasa por dos puntos
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-3, 5).

En la ecuación continua:

sustituimos x1 = 2, x2 = − 3, y1 = 4, y2 = 5, obteniendo:
|
|

..
4.4.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) |
|
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.  |....
|
|

| Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que                             y – y1 = m1 (x – x1)    (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación. |
    Esto es y2 – y1 =; de donde  (3)  La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.Observaciones
       i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación 
          (3) también puede escribirse en la forma:              Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:    ii.   Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la 
      ecuación de la resta (3) también puede...