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ÍNDICE

Regresión lineal:
¿Qué es la regresión lineal ?...................................................................................2
Antecedentes históricos……………………………………………………...…………2
Definición…………………………………………………………………………………3
Propiedades de la regresión lineal…………………………………………………….3
Tipos de regresión……………………………………………………………………….7
Regresión ycorrelación………………………………………………………..………10
Definición de regresión y correlación………………………………………………...10
Regresión y construcción de modelos……………………………………………….11


 
1.- ¿Qué es la regresión lineal?

1.1. Antecedentes históricos.

La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,1 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.

El término regresión se utilizó por primeravez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.2 La constatación empírica de esta propiedad se vioreforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
Perobien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

1.2. Definición.

La regresión lineal es una técnica estadística para modelar e investigar la relación entre dos o más variables. Tiene aplicación en la industria para investigar la relación entre el rendimiento de la producción y uno o más factores del (o de los) quedepende, como la temperatura, la humedad ambiental, la presión, la cantidad de insumos, etc; con base en este análisis se puede pronosticar el comportamiento de una variable que se desea estimar. Si el ingeniero industrial logra determinar cómo se relacionan las variables conocidas de un proceso con el comportamiento futuro de otra variable de interés, podrá colaborar favorablemente y en gran medidaal proceso de toma de decisiones.

1.3. Propiedades de la regresión lineal.

Una vez que ya tenemos perfectamente definida , (o bien ) nos preguntamos las relaciones que hay entre la media y la varianza de esta y la de Y (o la de X). La respuesta nos la ofrece la siguiente proposición: Proposición En los ajustes lineales se conservan las medias, es decir
En cuanto a la varianza, nonecesariamente son las mismas para los verdaderos valores de las variables X e Y y sus aproximaciones y , pues sólo se mantienen en un factor de r2, es decir,
Demostración Basta probar nuestra afirmación para la variable Y, ya que para X es totalmente análogo:
donde se ha utilizado la magnitud que denominamos coeficiente de correlación, r, y que ya definimos anteriormente como
Observación Comoconsecuencia de este resultado, podemos decir que la proporción de varianza explicada por la regresión lineal es del . Nos gustaría tener que r=1, pues en ese caso ambas variables tendrían la misma varianza, pero esto no es cierto en general. Todo lo que se puede afirmar, como sabemos, es que
y por tanto
La cantidad que le falta a la varianza de regresión, , para llegar hasta la varianza total de Y,, es lo que se denomina varianza residual, que no es más que la varianza de , ya que
El tercer sumando se anula según las ecuaciones normales expresadas en la relación (3.15):
Por ello
Obsérvese que entonces la bondad del ajuste es
Para el ajuste contrario se define el error como , y su varianza residual es también proporcional a 1-r2:...