Pi deducido por series

Alberto Espinoza Castillo
Lima- Perú
Este señor está en todas partes, a veces en donde menos te lo imaginas, haciendo siempre gala de su modestia trascendental.
El desarrollo de pi ha sido irregular en el transcurso de la historia. Nació chiquito (como todos nacen) con un valor de 3 (Cap. 4 del 2do. Libro de Crónicas). Arquímedes (287 A.C.) encontró un valor promedio para pi de 3.141851,empleando un método que fue el precursor del cálculo integral. En el siglo XVI en Europa se empezó a usar la fracción 355/113 (que difiere del pi “actual” en 0.000008 %): 3.14159292. Mientras tanto, los hindúes obtenían valores sorprendentemente buenos del susodicho.
Como todos sabemos, pi es un irracional (lindando casi con la locura). Puede expresarse solamente mediante series infinitas, como laque dedujo Leibnitz en 1673:
pi / 4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - .... (a)
(puedes obtenerlo tú mismo utilizando el desarrollo en series de la función arc tg x, haciendo x=1).... Pero ni trates de calcular pi usando esta serie. Es preferible que te quedes con la fracción medieval nomás. Por suerte, con un poco de paciencia puedes deducir otras series del mismo estilo queconvergen más rápidamente, como esta:
(10/3).(pi/4)^5 = 1/(1^5) - 1/(3^5) + 1/(5^5) - 1/(7^5) + 1/(9^5) - ... (b)
que hasta el término –1/51^5 da un valor de pi de 3.14159268
Te podrás dar cuenta que el estilo de estas series es el siguiente:
A. (pi/4)^p = Sumatoria ( (-1)^j / (2j + 1)^p ), desde j=0 hasta infinito (c)
En donde A es un número racional.
Por ejemplo: Para p=1, A =1; que es elcaso de la serie de Leibnitz (a)
Para p=3, A= 2
Para p=5, A= 10/3 (Ver (b) )
Otro tipo de serie que se descubre fácilmente es de la forma:
(pi)^p / k = Sumatoria ( 1 / j^p), desde j=1 hasta infinito (d)
Siendo K también un número cuerdo.
Por ejemplo, para p=2, k=6:
(pi)^2 / 6 = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) + 1/(4^2) + 1/(5^2) + ... (e)
que converge lentamente.
Sin embargo, parap=10, k=93555:
(pi)^10 / 93555 = 1/(1^10) + 1/(2^10) + 1/(3^10) + 1/(4^10) + ... (f)
que usando solamente diez términos de la serie, hallamos pi = 3.1415926
Sorprende pi con sus aventuras. Por ejemplo, tiene que ver hasta con los números primos. Pero ¿qué vínculo o parentesco existe entre pi y unos números aparentemente tan caóticos e indecisos? .... pues existe un vínculo de sangre....Si nolo crees, mira esto:
(1 – 1/2^2 ) (1 – 1 / 3^2 ) (1 – 1 / 5^2 ) (1 – 1 / 7^2 ) (1 – 1 / 11^2 ).... = 6 / (pi)^2 (h)
En donde cada factor es: (1 – 1/(Número primo)^2 ); siendo en forma ordenada para cada uno de los factores: Número primo: 2,3,5,7,11,13,17,19,23, ... hasta el infinito.
No dudarás ahora que pi hasta podría ser hermano de los números primos (quizás una prueba de ADN locomprobaría...)
Veamos otra conmovedora incursión de pi, esta vez en los factoriales, establecida en el siglo 18 por el matemático inglés Stirling.
x! = 1.2.3.4. ... (x-2).(x-1).x, cuando x es suficientemente grande, puede obtenerse en forma aproximada de la siguiente manera:
x! = ( (x/e)^x ) ( RAIZ CUADRADA (2. pi. X ) ) (i)
Así, para x = 69, utilizando la expresión (i), se obtiene 69!=1.71 x 1098,siendo el valor real de 69! = 1.7091591 x 1069.
Pero en la fórmula de Stirling aparece además el número “e” (base del logaritmo neperiano, cuyo valor es: 2.718281828459...), que aparentemente no tiene nada que ver con el número pi. Pero “e” y pi son inseparables. Miren esta expresión que los vincula con el número imaginario “i” (Raíz cuadrada de –1):
e ^ (pi.i) = -1 (j)
Y en el camporeligioso: “Aquí está la sabiduría. El que tenga inteligencia calcule el número de la bestia, por que ES NUMERO DE HOMBRE. Su número es seiscientos sesenta y seis” (Apocalipsis 4ta. parte. 13-18). La solución de este bíblico acertijo es sencilla, pero hay que tener bastante fe para tragarla. Es la siguiente: Los primeros SEIS números primos son: 2, 3, 5, 7, 11 y 13, que colocados de esta manera:...