Pid-formulas

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1. Regulador PID
1. Regulador PID ___________________________________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2
1.2. Discretización _______________________________________________________ 3
1.2.1. Operador Derivada __________________________________________________ 3
1.2.2. Discretización porPartes______________________________________________ 4
1.3. Efecto Windup _______________________________________________________ 4
1.4. Efecto Bumpless _____________________________________________________ 5
1.5. Ajuste del PID_______________________________________________________ 6
1.5.1. Relación entre ambos métodos: _________________________________________ 8
1.5.2. Método de Asignación de Polos._______________________________________ 10
1.5.3. Realimentación con Relé_____________________________________________ 12
1.5.4. Síntesis Directa____________________________________________________ 12
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1.1. Introducción
El regulador más usado en control de procesos es el PID cuya representación es la
siguiente:
]
d
de(t)
e(s)ds+T
T
1
u(t)= K [ e(t)+
t
d
i
ò (1.1)siendo u la variable de control y e la diferencia entre la referencia y la salida.
Se observan, dentro del corchete, tres términos representando la acción P, I y D respectivamente.
La acción proporcional es el control por realimentación más simple que se pueda
obtener. De todos modos ya incorpora ventajas en el comportamiento dinámico del sistema
en lazo cerrado. Por ejemplo sea un sistema deprimer órden
U(s)
1+ sT
Y(s)= A (1.2)
Si se lo realimenta con un regulador P resulta
K A K A
Y(s) = 1 + s R(s) = 1 + K A R(s)
K A
1 + 1 + s
1 + s 1 + K A
t
t
t
(1.3)
La constante de tiempo en lazo abierto es t , en cambio en lazo cerrado es 1 KA
t
+ .
Al aumentar K el sistema se hace más rápido. Además la ganancia en lazo abierto es A y en
lazo cerrado 1
KA
+ KA . A medida que Kaumenta, la ganancia tiende a uno, objetivo
buscado en el control.
Sin embargo, solo con K = ¥ llegaríamos a ganancia uno es decir que no se tendría
error en régimen permanente. En este ejemplo sencillo no habría problema en aumentar la
ganancia. Pero en sistemas más complejos aumentar la ganancia implicaría transitorios
oscilantes o directamente sistemas inestables.
De aquí surge la ideade la acción integral cuya función es eliminar el error en
régimen estacionario. El segundo término de la ecuación (1.1) muestra que esta acción es
proporcional a la integral del error. Por lo tanto este factor dejará de integrar, es decir se
estabilizará, solo cuando el error sea nulo que es el objetivo buscado.
Por último el término D es utilizado para mejorar los transitorios del sis tema yel
comportamiento frente a perturbaciones. Como lo indica su nombre, su tarea es oponerse a
cualquier cambio brusco en el error. Por ejemplo, en los casos en que el error esté próximo al
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cero pero variando con una cierta velocidad, el término P no tendría casi efecto pero sí el
aporte derivativo.
En muchos controladores comerciales se hace una modificación a esteaporte
definiéndolo como:
dt
dy(t)
D= - K Td (1.4)
O sea se lo hace proporcional a la velocidad de cambio de la salida. Esto evita que
cuando haya cambios en el valor de referencia se produzcan movimientos abruptos de la
salida. De todos modos, en régimen estacionario seguirá teniendo las mis mas propiedades
que el original.
Cabe notar que cuando la derivada de y es muy alta, por ejemplo enel caso de ruido
de alta frecuencia, la acción derivativa puede tener un valor elevado indeseable. En muchos
reguladores se recorta este efecto con algún tipo de filtro como el siguiente
1
d
d
d
sT
sT
sT
N
»
+
(1.5)
con N » 3L20 , que limita el efecto en altas frecuencias
En definitiva, el regulador resulta:
( ) ( ) ( ) 1 ( ( ) ( )) ( )
1
d
i d
sT
U s K bR s Ys R s Y s Y s...