Placas3

PLACAS CIRCULARES

1.- INTRODUCCION.
Sí la Placa es circular es conveniente expresar las ecuaciones básicas deducidas
anteriormente en un sistema coordenado polar. La ecuación de equilibrio de una
Placa circular puede obtenerse bien realizando una transformación de coordenadas
del sistema cartesiano al polar de la ecuación obtenida en el apartado correspondiente del capítulo anterior o establecerel equilibrio directamente sobre un elemento diferencial referido al sistema polar.

El primer método precisa de un desarrollo matemático de transformación del
sistema de referencia (X,Y,Z) a (r, ϕ, z) determinando las relaciones entre las
derivadas de la función w(x,y) respecto a x e y con las de w(r, ϕ) respecto a r y ϕ .
El segundo necesita de las expresiones de los esfuerzos, momentos ycortantes
referidos al sistema polar (r, ϕ, z) y de las relaciones de equilibrio adecuadas de
forma análoga al proceso realizado en el sistema cartesiano.
De cualquier manera la obtención de una solución exacta para placas circulares
bajo carga y condiciones de borde cualquiera, y por tanto no simétricas, es, igual
que en las placas rectangulares, tedioso, complejo y muy a menudo imposible.
2.-ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS CIRCULARES.
Puesto que x es función de r y ϕ, la derivada de w(r, ϕ) respecto a x se transforma
en derivadas respecto a r y ϕ :

Análisis de Estructuras

∂ w(r,ϕ ) ∂ w ∂ r ∂ w ∂ ϕ
=
+
∂x
∂ r ∂ x ∂ϕ ∂ x

∂r
= cos ϕ
∂x

2

∂ w(r,ϕ ) ∂ w ∂ r ∂ w ∂ ϕ
=
+
∂y
∂ r ∂ y ∂ϕ ∂ y

∂ϕ
1
= - senϕ
∂x
r

con lo que:
∂ w(r,ϕ )
∂w 1
∂w
- senϕ
= cos ϕ
∂x
∂r r
∂ϕ
∂2w
∂ x2
∂2w
∂ y2

∂w(r,ϕ )∂w 1
∂w
= senϕ
+ cosϕ
∂y
∂r r
∂ϕ

=

∂ w
∂w 1
∂ ∂ w 
∂ 1
∂ 


 =  cos ϕ
  cos ϕ
− sen ϕ
− sen ϕ
∂x∂x 
∂r r
∂ϕ  
∂r r
∂ ϕ 

=

∂ w
∂w 1
∂ ∂ w 
∂ 1
∂ 

 =  sen ϕ
  sen ϕ

+ cos ϕ
+ cos ϕ
∂ ϕ 
∂y∂y 
∂r r
∂ϕ  
∂r r

∂w 1
∂ w
∂2w
∂ ∂ w 
∂ 1
∂ 

 =  sen ϕ
  cos ϕ

=
+ cos ϕ
− sen ϕ
∂x∂y ∂y∂x 
∂r r
∂ϕ  
∂r r
∂ ϕ 
Por lo tanto seobtienen las siguientes expresiones:
∂w 1
∂w
∂2 w
∂2 w 1
∂2 w 1
∂2 w 1
2
2
2
= cos ϕ
+ sen ϕ
+ sen ϕ
- sen2ϕ
+ sen2ϕ
∂r r
∂r∂ϕ r 2
∂ϕ
∂ r2 r2
∂ x2
∂ϕ2 r

Placas Circulares

3

2
2
1
∂w
∂2 w 1
∂2 w
2 ∂ w
2 ∂ w 1
2 ∂w 1
=
+
+
+
sen2
sen2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sen
cos
cos
∂r r
∂r∂ϕ r 2
∂ϕ
∂ r2 r2
∂ y2
∂ϕ2 r

∂w 1
∂w 1
∂2 w
∂2 w 1
∂2 w 1
∂2 w 1
sen2ϕ
- cos 2ϕ
- sen2ϕ
+ cos 2ϕ
= sen2ϕ
∂ϕ 2r
∂r r
∂r∂ϕ
∂x∂y 2
∂ r2 2 r2
∂ϕ 2 r2
El operador de Laplace se transforma en términos de coordenadas polares en:
1 ∂2 1 ∂
∂2
+
∆= 2 + 2
∂r
r ∂ ϕ 2 r ∂r
y la ecuación diferencial de la placa queda:
 ∂2
q(r , ϕ )
1 ∂2
1 ∂   ∂ 2
1 ∂2
1 ∂ 

∆ ∆ w(r , ϕ ) =
+
+
w
r
+
+
(
,
)
ϕ
=
 ∂ r 2 r 2 ∂ϕ 2 r ∂ r   ∂ r 2 r 2 ∂ϕ 2 r ∂ r 
D



Los esfuerzos internos, momentos y cortantes, tienen en el sistema coordenado
polar lassiguientes expresiones:
∂ 2 w
 1 ∂ 2 w 1 ∂ w 
 ∂ 2 w 1 ∂ 2 w 1 ∂ w


M r = −D  2 + ν 2
+
M ϕ = − D ν
+ 2
+

2
2
 r ∂ ϕ 2 r ∂ r 
r ∂ r 
∂
r
∂
r
r
∂
ϕ





M rϕ

1 ∂2w
1 ∂ w 
= −(1 − ν ) D 
− 2

 r ∂ r ∂ϕ r ∂ϕ 

Qr = - D

∂
∆w
∂r

Qϕ = - D

∂
∆w
∂ϕ

∂
1 − ν ∂  1 ∂ 2 w
1 ∂ w 
Vr = − D 
∆w+
−

r ∂ ϕ  r ∂ r ∂ ϕ r 2 ∂ ϕ 
 ∂ r
1 ∂
∂  1 ∂ 2 w
1 ∂ w 
Vϕ= − D 
∆ w + (1 − ν ) 
− 2

∂ r  r ∂ r ∂ ϕ r ∂ ϕ 
 r ∂ ϕ
2.1. Equilibrio de un elemento diferencial.
En la figura se muestran los esfuerzos que actúan sobre las caras de una rebanada
diferencial de placa circular. El equilibrio de fuerzas y de momentos permite llegar

Análisis de Estructuras

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a la ecuación diferencial de equilibrio de la placa que evidentemente coincide con
laobtenida por la transformación del sistema coordenado de referencia.

3. PLACAS CIRCULARES CON CARGA DE REVOLUCION.
Sí la placa circular considerada tiene carga y condiciones de borde con simetría de
revolución, la flecha es sólo función de r. Todas las secciones rz son de simetría y
por lo tanto la respuesta estructural es la misma para todas ellas.

En estas situaciones las ecuaciones en...