Planeacion Lineal

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2. Programación lineal



2.1. Introducción

La función de la programación lineal es la distribución de recursos o riquezas (de cualquier clase) escasas entre diferentes actividades en competencia, y realizar esto de una manera óptima.
La programación lineal emplea un modelo matemático para describir el problema en cuestión. El adjetivo lineal significa que todas las funcionesmatemáticas en el modelo deben ser de primer grado, es decir, lineales.
Los pasos que se deben seguir para elaborar un modelo matemático de cualquier tipo, en general, son los siguientes:

1) Definir el problema por resolver.
2) Recopilar los datos e información relevantes.
3) Formular un modelo matemático que represente el problema.
4) Desarrollar (siempre y cuando sea necesario) o utilizar unmétodo computacional para obtener las soluciones del modelo planteado.
5) Probar el modelo, mejorarlo si es posible y resolverlo.
6) Implementar la solución.

El planteamiento de un modelo matemático de programación lineal, es un “arte” que se aprende mejor con la práctica. Ilustraremos los puntos anteriores mediante una serie de ejemplos.


2.2. El modelo matemático en programación linealGeneralmente un problema de programación lineal implica la maximización o minimización de una función lineal de un conjunto de variables no negativas, llamadas incógnitas o variables sujetas a un conjunto de igualdades o desigualdades también lineales, llamadas restricciones, que relacionan a las variables entre sí y con la función por maximizar o minimizar, llamada función objetivo.
Lageneración e interpretación del modelo matemático en programación lineal, generalmente sigue la siguiente forma: encontrar X1, X2, X3, ..., Xn tales que maximicen en la siguiente función objetivo:

Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + ... + CiXi + ... + CnXn

sujeta a las siguientes restricciones:

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ... + A1nXn < B1
A21X1 + A22X2 + A23X3 + ... + A2nXn < B2
A31X1 + A32X2 + A33X3 + ... +A3nXn < B3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ... + AmnXn < Bm

y tales que:

Xj > 0 para j = 0, 1, 2, ..., n

Aij, Cj y Bi son constantes conocidas.


2.3. Interpretación del modelo matemático

Dadas n actividades en pugna, lasvariables de decisión X1, X2, X3, ..., Xn representan los niveles o intensidades de dichas actividades. Por ejemplo, si cada actividad representa la venta de diferentes artículos, entonces Xj será el número de unidades del artículo j que deberán ser vendidas durante cierto periodo de tiempo.
Z representa la medida total de efectividad, la cual debe ser escogida según el caso. En nuestro ejemplo, puedeser la ganancia obtenida durante el mismo periodo de tiempo anterior.
Cj es el incremento que se obtendrá en la medida total de efectividad por cada unidad que Xj se incremente. En nuestro ejemplo Cj puede ser la ganancia obtenida al vender una unidad del artículo j.
El número de recursos disponibles es m, y se indica una desigualdad a cada uno de estos recursos con objeto de mostrar en quéforma están restringidos, de tal manera, que cada una de las m desigualdades corresponde a una restricción con respecto a la disponibilidad de cada uno de los recursos. Bi es la cantidad total del recurso i del que disponemos para abastecer las n actividades, mientras que Aij es la cantidad del recurso i consumida por cada unidad de producto tipo j elaborada. En otras palabras, las restriccionessignifican que no podemos consumir más recursos que los que disponemos.
Las restricciones son siempre proposiciones lógicas que indican límites u obligaciones del tipo “puedo” o “no puedo”, “debo” o “no debo”. Por ejemplo “tengo que producir la cantidad vendida” o “no puedo gastar más de lo que poseo”.
Debe tenerse cuidado de no incurrir en ecuaciones redundantes para evitar realizar...