Planeta activo

1. Esfera con densidad uniforme Nuestro planeta no tiene forma esf´rica ni densidad uniforme. Ese modelo e difiere del planeta real. Algunos c´lculos pueden ayudarnos a comprender a por qu´ la naturaleza exhibe otro tipo de formaci´n. e o

Figure 1: esfera con densidad uniforme Todos los puntos situados a una distancia x del centro soportan la misma presi´n. Esos puntos forman un cascar´nesf´rico de radio x , como sugiere o o e la figura. ¿Cu´nta presi´n soporta ese cascar´n? a o o La materia contenida dentro del radio x atrae gravitatoriamente a la materia que la rodea. Lo rec´ ıproco no sucede pues un cascar´n de materia o no contribuye a la gravitaci´n en su interior. Newton ofreci´ la primera o o demostraci´n de esa propiedad y en ´pocas recientes fue confirmada. En la o e esfera queanalizamos lo de adentro atrae a lo de afuera y lo rec´ ıproco no sucede. ¿Viola esto el Principio de Acci´n y Reacci´n? No, pues la parte o o interior opone una reacci´n mec´nicamente similar a la fuerza que un gas o a comprimido ejerce contra el recipiente. S´ ımbolos δ densidad m masa contenida dentro del radio x F fuerza gravitatoria Expresemos la masa contenida dentro del radio x m=δ 4 π x3 31 (1)

El cascar´n esf´rico de radio x tiene un espesor dx y un volumen dV . o e dV = 4 π x2 dx Expresemos la masa del cascar´n. o dm = δ dV dm = 4 πδ x2 dx Expresemos la fuerza gravitatoria que atrae al cascar´n hacia el centro. o dF = G m dm x2 (5) (3) (4) (2)

En (5) reemplazamos m como indica (1) . δ dF = G Simplificamos y ordenamos. dF = 4 π G δ x dm 3 (7) 4 π x3 dm 3 x2

(6)Reemplazamos dm como indica (4). dF = Ordenamos. 4 π G δ x 4 πδ x2 dx 3 (8)

16 2 π G δ 2 x3 dx (9) 3 Integrando a (9) calculamos la fuerza gravitatoria ejercida sobre el cascar´n o de radio x . R0 16 2 2 π Gδ x3 dx (10) F = 3 x dF = 16 2 F = π G δ2 3 Simplificamos y ordenamos F = 4 2 4 π G δ 2 R0 − x4 3 (12)
4 R0 x4 − 4 4

(11)

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La superficie esf´rica de radio x tiene un area S cuya expresi´nes e ´ o S = 4 π x2 La presi´n en el cascar´n de radio x es o o p= F S (14) (13)

En (14) reemplazamos F como indica (12) y S como indica (13). 4 2 4 π G δ 2 [R0 − x4 ] 3 p= 4 π x2 Simplificamos y ordenamos. p= π G δ2 3
4 R0 − x2 x2

(15)

(16)

Para x = R0 la ecuaci´n (16) da p = 0 . Este resultado es comprensible, o pues no hay material encima de la superficie exterior. Cuanto menor es xmayor es la presi´n. Para x → 0 la presi´n tiende a infinito. o o La presi´n m´xima que un material puede soportar es finita. Esto significa o a que si pudi´semos construir una esfera con densidad uniforme y masa total e semejante a la masa de un planeta necesitar´ ıamos dejar un hueco alrededor del centro. El radio m´ ınimo que el hueco podr´ tener depender´ de las ıa ıa propiedades f´ ısicas delmaterial. Todos los huecos que superen el radio m´ ınimo est´n permitidos. a Un cascar´n de espesor finito equivale a una esfera hueca. La exploraci´n o o geol´gica muestra que nuestro planeta se parece a un conjunto de o cascarones de espesor finito, cada uno metido dentro de un cascar´n mayor. o Esta estructura de capas sucesivas tambi´n necesita un hueco alrededor del e centro. Y lo necesitar´aunque las capas tuviesen espesor infinitesimal. Eso ıa incluye a una esfera cuya densidad var´ continuamente en funci´n del ıa o radio. El hueco en la regi´n central es inevitable cuando la esfera est´ o a formada por materia normal. Eso implica el c´lculo basado en la ley de a Newton, suponi´ndola v´lida en el interior de la materia. e a

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Analicemos objeciones . Objeci´n A : Suponer que laley de Newton es inv´lida en el interior de la o a materia. En ese caso no podr´ ıamos usarla para calcular la presi´n en el o fondo del oc´ano, pues el agua es materia y el fondo s´lido situado bajo el e o agua tambi´n. La verdad es que la usamos y el c´lculo concuerda con las e a mejores mediciones. o Objeci´n B : Suponer que la ley de Newton falla en el entorno pr´ximo al o centro de la...