Planeta

1

Diferenciaci´n de funci´ns de varias variables reais o o
Bolet´ de exercicios. Curso 2010-11. ıns

Bolet´ de exercicios no 2. ın 1 Calcular as derivadas parciais das funci´ns , o f1 (x, y) =xsen(xy) f2 (x, y) = log(x + y) + yex √ f3 (x, y) = y − x2 + |y − 1| √ f4 (x, y) = y − x2 + |y − 1| sen x. nos respectivos pontos o 6 Dada a funci´n f (x, y) = exp(−x) sen(x + 2y), ¿´ diferenciable en(0, π/4)?. De see lo, aproximar f (h, π/4 + k) mediante df (0, π/4).

7 Dada f (x, y, z) = x cos y sen z calcuP1 = (1, π), P2 = (−1, 2), P3 = P4 = (0, 1) lar a derivada de f en (1, π, π/4) segundoos vectores v = (2, −1, 4) e w = 2 Calcular Dv f (1, 1, 2), como derivada (4, −2, 8). Obter as respectivas derivadas dunha funci´n real de variable real, en o direccionais. cada unha das seguintessituaci´ns: o f (x, y, z) = xy 2 + yz v = (2, −1, 2) g(x, y, z) = z xy v = (0, 1, 1) ax+by+z v = (1, −1, 2) h(x, y, z) = x+y Obter seguidamente derivadas direccionais. as respectivas 8 Estudar aexistencia das derivadas parciais e o conxunto de diferenciabilidade das funci´ns f1 , f2 , f3 , f4 , f5 o definidas, respectivamente, por: { xy se (x, y) ̸= (0, 0) x2 +y 2 0 se (x, y) = (0, 0)   0 se y ̸=x2  1 se y = x2 , (x, y) ̸= (0, 0)   0 se (x, y) = (0, 0) { 2xy 2 se (x, y) ̸= (0, 0) x2 +y 4 0 se (x, y) = (0, 0) { x2 y 2 log (x2 + y 2 ), (x, y) ̸= (0, 0) (x, y) = (0, 0) 0, { 1 xy sen x2 +y2 (x,y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)

3 Obte-los valores de v para os que est´ definida Dv f (0, 0) na funci´n a o √ f : (x, y) ∈ R2 →= 3 xy ∈ R1 . 4 Dada a funci´n f (x, y, z) = |x+y +z| o calcular asdirecci´ns para as que existe o derivada de f no ponto p = (1, −1, 0) segundo as mesmas. 5 Dados f : Rn → R1 , v, w ∈ Rn e α, β ∈ R estudar a posible relaci´n entre o Dv f (p), Dw f (p) e Dαv+βw f (p).2 9 Sexa f (x, y) definida pola expresi´n o ∫ x ( ) ( ) log x2 + 2y + 1 + cos t2 dt.
0

o 13 Dada a funci´n f (x, y) = 3x/2 + y 2 + 7x/8 − 3y/8 x+y

Determinar df (a, b) as´ como ∥df (a, b)∥...