Planificacion

Guía Nº5

Cálculo I

Plan Común

Marcel Saintard Vera Segundo Semestre de 2009 Para Uso Interno

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA CURSO de CÁLCULO I

GUIA Nº 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.Calcule los siguientes límites: a)

lím4 x®

x 2 - 16 (x - 4) 2

b)

x®-4

lím

x 2 - 16 (x - 4) 2
2 3

c)

lím2 x®
x®

x2 - 6 x + 8 x2 - 5 x + 6
2

d)lím3 x x®lím x x®2

- x - 12 x + 4x + 3
2 2 2

e)

lím (2 - x ) x ® -1

f)

lím2 æ x ç
3

è

-

2ö ÷ xø

g) j) m)

-4 x-2
x2 + 3 1- x

h) k) n)

lím1 x x®lím1 x x®

+1 x+1
3
3

i) l) ñ)

lím x®0
lím2 x x®

4-x -2 x
- 16 x -4
4 2

lím1 2 x® lím x ®1
lím x®0
3

+ x2 - x - 1 x2 + x - 2

x -1 x + 3- 2
2

lím0 x®

1 + x + x2 - 1 x

lím0 x®

1+ x-1- x x

p)

1+ x -1 x

q)

lím 3 x - 8 x ® 64
lím1 x®

x -4

r)

lím 1 - 5 x x®1
1x

3

s)

3 lím1 4 x - 1 x® x -1

t)

x2 - 4x + 3 x2 + 2x - 3

u)

lím3 x x®

3 - 27 x-3

v)

lím1 x®

x3 - 3x + 2 x3 - x2 - x + 1

Respuestas:

a) No existe. g) 4 m) 2 s)
4 3

b) h) n)

0 3

c) i) ñ)

2
1 4

1 2 1 t) 2

1

u) 27

7 2 1 j) 2 1 p) 3 3 v) 2d)

e) 1 k)
4 3

f) l) r)

23 9

8
5 3

q) 3

1

Guía Nº5 2.-

Cálculo I

Plan Común

Marcel Saintard Vera
h3 - 8 ;( 3) h2 - 4

En cada caso, demuestre que el límite es el que se indica.
3 æ 2 ö a) lim ç x + x - 2 ÷ ; ( ) 2 x® -2ç 4 x - 4 ÷ è ø

b) lím

y®2

y2 - 4 ; (2) y 2 - 3y + 2

c) lim

h® 2

x3 + x2 - x - 1 4 d) lím ;( ) x ®1 3 x2 + x - 2
ü 1 1ì 1 g)lím í - 1 ý; ( ) h ®0 h î 1+ h þ 2 x+3 j) lím ; (no $) x®5 5 - x

x 2 - ( a + 1)x + a a -1 e) lím ;( 3 3 x®a x - a 3a 2
h) lím
x®1

)

x 2 - 25 f) lím (0) x ® -5 ( x - 5 ) 2

x -1 1 ; ( ) x - 1 2

k) lím
x®2

x 4 - 6x + 4 8 ;( ) x+1 3
3 2

1ö æ 1 i) límç 2 - ÷ ; ( 0 ) x ®1 x xø è x 2 - x - 12 7 l) lím 2 ;( ) x ® -3 x + 4x + 3 2
o) lím
x®2

x+a m) lím x ®0 x
p) lím
x® 2

aæ 1 ö ;ç ÷ ç ÷ è2 a ø

(1+ h ) n) lím h ®0 h

-1

;(

3 ) 2

x 5 - 32 ; (80) x-2

2 ù é 1 q) lím ê - 2 ; (no $ ) x ®1 x - 1 x -1 ú ë û
t)
x®16 4

s) lím

1 é 1 2 ù 1 ê x + 3 - 3x + 5 ú ; ( 32 ) x ®1 x - 1 ë û
3x + 4 3 ;( ) 2x + 3 2

lím

x - 4 x - 2

; (4)

; (6) x2 + 5 x 2 - 14 r) lím ; (-1) x ® -1 1 2 x + 2 3x - 2 3 u) lím ;( ) x® ¥ 5 x + 4 5
3-

4 - x2

v)lím

x®¥

w) lím

x ®¥

x2 - 1 1 ;( ) 2x + 1 2

x) lím

2 x 2 + 3x + 4 ; (2) x ®¥ x 2 - 2x - 3

3.-

Dada

ìx 2 ï f (x) = íax + b ï2x - 6 î
x ® 2

si

x £ -2

si - 2 < x < 2 ; encuentre los valores de a y b, para que si x ³ 2
(a= 3 ,b=1) 2

x® -2

lím f ( x ) y

lím f ( x ) , existan.

4.-

Los costos de embarque a menudo se basan en una fórmula que produce uncosto inferior por kilogramo conforme aumenta la magnitud del embarque. Suponga que x kilogramos es el peso de una remesa, C(x) es el costo total del embarque y si 0 < x £ 50 ì0 ,80 x ï C(x) = í0,70x si 50 < x £ 200 ï0,65x si 200 < x î a) Trace la gráfica de C.
x ® 50 -

b) Determine cada uno de los siguientes límites:
x ® 200 -

lím C ( x ) ,

x ® 50 +

lím C ( x ) ,

lím C ( x ) , lím +C ( x ) .
x ® 200

2

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Plan Común

Marcel Saintard Vera

CONTINUIDAD 1.Demuestre que las siguientes funciones son discontinuas en el número x = a dado. Luego, determine si la discontinuidad es evitable o no. Si es evitable, defina f(a) de manera que la función resulte continua en x = a. x 2 - 3x - 4 x 2 - x - 12 a) f(x) = ;a=4 b) f(x) = 2 ; a = -3 x-4 x + 2x - 3c)

ì x2 - 4x - 3 , si x ¹ 3 ï f(x) = í x - 3 ;a=3 ï5 , si x = 3 î

ì 1 , si x ¹ -5 ï d) f(x) = í x + 5 ; a = -5 ï0 , si x = -5 î
f)
ì9 - x 2 , si x £ 2 f(x) = í ;a=2 î3x + 2 , si x > 2

e) 2.-

ì x - 3 , si x ¹ 3 f(x) = í ;a=3 , si x = 3 î2

Determine los intervalos reales de x donde las funciones dadas son continuas: x-2 a) f(x) = x2(x + 3)2 b) f(x) = 2 c) f(x) = 3 - 7 x x + 2x -...