Plano Cartesiano Distancia Entre Puntos

1
Geometría
1.1

El plano cartesiano

Así como los números reales se pueden representar gráficamente
con una recta denominada recta real, dando así nociones claras de orden y distancia, de la misma forma es posible tomar un plano, que
para nosotros será una hoja o un tablero por ejemplo, asociarlo con
una estructura de números y generar relaciones entre ellos como por
ejemplo la distancia. Lagran diferencia de esta asociación con la que se
puede hacer entre las líneas rectas y la recta real radica en que para un
plano se necesitarán dos rectas que señalen dos direcciones (perpendiculares por comodidad), rectas que llamaremos ejes, permitiendo así
que asociemos cada punto en el plano con dos números, uno en cada
eje. Al eje horizontal lo llamaremos el eje x y al vertical lo llamaremos
eleje y, denominación que será especialmente útil cuando hablemos
de gráficas de funciones en el capítulo ??.
Al observar la figura 1.1 es importante que tomemos en cuenta que
cada eje se extiende indefinidamente. Sin embargo, las puntas de flecha que tienen los ejes, ubicadas únicamente a la derecha en el eje x y
arriba en el eje y, no se utilizan para representar que los ejes se extienden, suobjetivo es indicar que esa es la dirección en la que aumentan
los valores localizados en cada eje. Por eso es tan importante que no
pongamos puntas en los dos extremos de cada eje.
Ahora, ¿cómo relacionamos los puntos en el plano con esos ejes
coordenados? La pregunta pasa por entender que los ejes realmente
esconden una rejilla invisible, similar a una hoja de papel cuadriculado, como se muestra enla figura 1.2.
Tomando siempre como referencia inicial el cruce de los ejes, al que
se denomina origen, podemos hacer referencia a un punto como “el que
está dos unidades a la derecha y una unidad abajo” o hacer referencia
al mismo punto como “el que está en 2 horizontal y −1 vertical”. A

4 y
3
2
1
x

−5 −4 −3 −2 −1
−1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

−2
−3
−4
Figura 1.1: Los ejes

4 y
3
2
1
x

−5−4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4

Figura 1.2: La cuadrícula oculta

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departamento de matemáticas universidad de los andes

esos dos números, el 2 y el −1 en el caso del punto al que estamos
haciendo referencia, los llamaremos las coordenadas del punto, siendo
el valor correspondiente a la posición horizontal (2 en el ejemplo) la
coordenada x y el valor correspondiente a la posición vertical (−1 en
elejemplo) la coordenada y, como referencia a los ejes.

4 y
3
2
1
x

−5 −4 −3 −2 −1
−1

1

2

3

4

5

(2, −1)

−2

Este plano con sus coordenadas basadas en la existencia de dos
ejes perpendiculares lo conocemos como plano cartesiano en honor al
matemático francés René Descartes (1596-1650).

−3
−4
Figura 1.3: Un punto en el plano cartesiano

4 y
3

II

I

2
1

x

−5 −4 −3 −2 −1
−1

III

1

2

3

45

IV

−2
−4

Figura 1.4: Cuadrantes del plano cartesiano

(4, 3)

3
2
1

x

−5 −4 −3 −2 −1
−1

1

2

3

4

−2
−3
−4
Figura 1.5: Dos puntos en la cuadrícula
y el segmento que los une: distancia

Los ejes dividen el plano cartesiano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes . A la región que contiene todos los puntos donde las coordenadas x y y son positivas, que corresponde a estar arriba del eje x
ya la derecha del eje y, la llamamos Cuadrante I. La región donde la
coordenada y es positiva pero la x negativa (arriba y a la izquierda)
la llamamos Cuadrante II, Cuadrante III a la región donde tanto la
coordenada x como la y son negativas (abajo a la izquierda) y finalmente Cuadrante IV a la región donde la coordenada x es positiva y la
y es negativa (abajo a la derecha). Así, los cuadrantes senumeran con
símbolos romanos y en el sentido contrario al del movimiento de las
agujas del reloj, como podemos ver en la figura 1.4
Una vez tenemos claridad en cómo se construye la noción de punto
dentro de nuestro plano cartesiano, es evidente que podemos representar más de un punto a la vez y que podemos entonces establecer
relaciones entre los puntos. Consideremos entonces una figura con...