Plano cartesiano

El Plano Cartesiano

Se ha convenido en usar una línea recta horizontal para representar a todos los números reales, colocando el cero en un punto de la recta, todos los reales positivos a la derecha de ese punto y todos los reales negativos, a la izquierda de ese punto:

A continuación se superpone, a esta recta, otra recta perpendicular a ella y que pase por el 0, de la manera siguiente:Sobre la recta vertical, se ubican también los números reales, de manera que el cero de la vertical coincida con el de la horizontal, los números reales positivos queden por encima de la horizontal y los negativos queden por debajo.

Esta sencilla construcción permite identificar a cualquier par ordenado de números reales con un punto del plano, de la manera siguiente:

El par $(1,4)$ , porejemplo, se identifica con el punto $P$ señalado en la figura de la derecha


Para encontrar el sitio exacto que le corresponde al punto $P$ , se procede así:

1)Se traza una recta vertical que pase por el punto 1 del eje horizontal.

2)Se traza una recta horizontal que pase por el punto 4 del eje vertical.

El punto de intersección de las dos rectas trazadas es el punto $P(1,4)$ .

Elpar $(1,4)$ se denomina "par ordenado" porque el orden en el cual aparecen los números es esencial para identificar al par con el punto $P$ del plano. De hecho, si se considera el punto $(4,1)$ , el punto del plano que se le asocia es el punto $Q$:



En el par ordenado $(1,4)$ , que ahora identificamos con el punto $P$ , al número 1 se le llama la abscisa del punto $P$ y al número 4, laordenada del punto $P$ . Por eso, al eje horizontal se le llama el eje de las abscisas y al vertical, el eje de las ordenadas.

Los números 1 y 4 son las coordenadas cartesianas del punto $P$ , y la construcción general que se acaba de describir a través del punto particular $P$ , se llama plano cartesiano.

El punto donde se intersectan los ejes de coordenadas es llamado el origen de coordenadasy se identifica con el par ordenado $(0,0)$ .

La utilidad del plano cartesiano puede ilustrarse, en una aplicación muy elemental, con el ejemplo siguiente. Dos personas acuerdan encontrarse a las 4:00 p.m. en una cierta esquina de una ciudad cuyo sistema vial está constituido por calles paralelas y avenidas perpendiculares a las calles, como en el dibujo:

La manera más sencilla, tal vez, deespecificar la esquina del encuentro, sería decir: Ave. 5 con Calle 4.

Si las calles y avenidas no estuvieran numeradas, sino que se identificaran por nombres que las personas del encuentro no recordaran, aún sería posible identificar con precisión el punto de encuentro, si tomaran como punto de referencia la plaza Bolívar, por ejemplo:

Si la ciudad es inclinada, de manera que decir "haciaarriba" o "hacia abajo" resulta una indicación clara y si ambas personas se acercaran a la plaza Bolívar desde abajo, podrían decir: Una cuadra a la derecha de la plaza Bolívar y dos cuadras hacia arriba.

En este último caso, se está usando un sistema para identificar el punto de encuentro, que es equivalente al sistema de coordenadas cartesianas.

Se le podría asignar el punto $(0,0)$ a laplaza Bolívar y en ese caso, el punto de encuentro tendría coordenadas $(1,2)$ , lo que sería equivalente a decir: una cuadra a la derecha y dos cuadras hacia arriba.

Por supuesto, el punto de referencia ha podido ser otro, y en ese caso las indicaciones (y por lo tanto, las coordenadas) cambiarían. Lo importante aquí es observar que el sistema de coordenadas cartesianas es un sistema donde seescoge un punto al que se llama origen de coordenadas, y a partir de ese punto como referencia, se ubica cualquier otro punto del plano.

Si se quiere establecer la posición en el plano de los puntos siguientes:



Así, sin ninguna referencia, resulta bastante difícil. Si ahora, se escoge un sistema de coordenadas cartesianas y se colocan los tres puntos en él, se tiene lo siguiente:...