plano inclinado

Martes, 17 de diciembre del 2013

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Objetivo: el movimiento de un cuerpo (cilindro, aro o esfera) a lo largo de un plano inclinado. Nos permite mostrar en otro contexto el papel que juega la fuerza de rozamiento.
Las principales dificultades asociadas al papel de la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar se refieren a:
1. Es necesaria la existencia de una fuerza de rozamientopara que el cuerpo ruede sin deslizar, pero dicha fuerza no realiza un trabajo neto, por lo que la energía mecánica se conserva.
2. En el caso en el que exista un movimiento de rodar con deslizamiento, la naturaleza de la fuerza de rozamiento cambia de estática a cinética y realiza un trabajo que se transforma en una disminución de la energía final del cuerpo.


Movimiento de rodar sin deslizarEcuaciones de la dinámica
Examinaremos el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:
el peso
la reacción del plano inclinado
la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la rueda y el plano.
Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al planoinclinado. Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

Movimiento de traslación del c.m.
mg·senq -Fr=mac
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
FrR=Ica
Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar)
ac=a R
Si conocemos el ángulo de inclinación q  y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, calculamos ac y el valor de lafuerza de rozamiento Fr.
Cuerpo
Momento de inercia
Esfera

Aro
mR2
Cilindro

Expresamos el momento de inercia Ic=k·mR2 donde k es un factor geométrico 2/5 para la esfera, 1/2 para el cilindro y 1 para el aro.

Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, empleamos las ecuaciones de ladel movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es

Siendo h la altura de partida del cuerpo referida a la posición final, h=x·senq
 
Balance de energía
Energía cinética en el movimiento de rodar
La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética derotación alrededor del c.m.

Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación
W=Wt+Wr

El trabajo en el movimiento de traslación es
Wt=(mgsenq -Fr)x=mgh-Frx
El trabajo en el movimiento de rotación es
Wr=Mf =FrRf =Frx
Eltrabajo total es
W=mgh
Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía.
El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética (de traslación del c.m. y derotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.)

La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es la misma que hemos calculado a partir de la dinámica.

El cuadrado de la velocidad del c.m. vc es proporcional a la altura inicial h. Podremos comprobar esta relación en el applet al final de esta página.

Movimiento de rodar con deslizamiento
Cuando un cuerporueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento Fr es desconocida y se calcula resolviendo las ecuaciones del movimiento, tal como hemos visto en el apartado movimiento de rodar sin deslizar

Para que haya movimiento de rodar sin deslizar se tiene que cumplir que Fr£ µs·N
Donde µs es el coeficiente de rozamiento estático  que depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, la rueda y el...