Plano minimo - analisis de datos

Plano mínimo cuadrado

Los mínimos cuadrados es una herramienta muy utilizada desde
su invención por Gauss y Legrende hacia el año 1800. En términos de algebra
lineal se trata de resolver sistemas lineales Ax = b con más ecuaciones que
incógnitas, donde el término resolver se entiende en el sentido de minimizar la
norma euclídea de vector residuo r = Ax ¡ b.
Estas notas se dividen en dospartes, en la primera se estudia el problema
de ajuste de curvas a conjuntos datos que es uno de los principales orígenes
de los problemas de mínimos cuadrados. En la segunda parte se comentan los
métodos numéricos más habituales para resolver los problemas de mínimos
cuadrados.
El término mínimos cuadrados describe el problema muy frecuente de resolver
sistemas de ecuaciones linealessobre-determinados, esto es, sistemas lineales con
más ecuaciones que incógnitas. En tal caso, en lugar de resolver las ecuaciones de
manera exacta, habitualmente no existe tal solución, se busca sólo minimizar la
suma de los cuadrados de los residuos.
Dados un conjunto de puntos en el plano cartesiano. Dispersos aleatoriamente.
- Supongase que una recta de minimos cuadrados y la parabola deminimos cuadrados fueron ajustadas a un mismo conjunto de ptos.
- Expliquese por que la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano). de los ptos respectoa a la parabola, NO PUEDE SER MAYOR que la suma de los cuadrados de las desviaciones de los ptos respecto a la recta
PLANO
Una MMC. es el medio ideal para constatar que en larealidad no existen los planos, ni las líneas rectas, ni tiene sentido hablar de la distancia entre dos rectas paralelas (porque ni son rectas ni paralelas) etc. etc. Todo ello al menos, desde el punto de vista de las definiciones matemáticas que damos a los elementos geométricos.
Por ello, es decir, para adaptarnos a la realidad (lo cual entronca con lo dicho antes para el cilindro en relación con lascuádricas), es preciso ampliar el contenido de las definiciones básicas.
Así, sabemos que para definir un plano bastan 3 puntos; una recta, 2; 4 para una esfera y 3 para una circunferencia, etc. Es más, cualquier punto en exceso de los indicados lleva a la incompatibilidad o a la incertidumbre sobre la figura en cuestión.
Sin embargo, si palpamos en 3 de sus puntos lo que consideramos unplano real, obtendremos los 4 parámetros de ese plano; ellos serán distintos (y no por simple proporcionalidad) de los que tendríamos de haber palpado en otros 3 puntos diferentes.
2.1. MÍNIMOS CUADRADOS
Para resolver el problema se hace lo siguiente: Palpar el plano real en n puntos diferentes, y de sus coordenadas, deducir los 4 parámetros de un plano tal que la suma de los cuadrados de lasdistancias a él desde los n puntos palpados, sea mínima; estas distancias no son ortogonales, sino según la proyección del eje coordenado más conveniente.
Algo parecido se hace con las otras figuras. La dificultad estriba en disponer de un artificio que brinde una regresión lineal, pues en caso contrario el problema tiene muy difícil solución.

Imaginemos (FIG.4) que en la búsqueda de un plano pdesconocido hemos palpado sobre su superficie real los puntos 1, 2, 3, 4, 5. Las proyecciones de estos puntos sobre p según el eje Z son 1’, 2’, 3’, 4’, 5’, respectivamente.
Pues bien, p será el plano buscado cuando

Si a un plano cuya ecuación es
Ax+By+Cz+D=0
le dividimos todos sus miembros por -C, tomará la forma
z=Ax+By+D              (5)
presentando como incógnitas A, B, D.
Silos puntos palpados han sido los 1, 2, ... i ... n, podremos escribir, de acuerdo con la forma de regresión explicada más arriba:

Para que η sea mínimo es preciso que las derivadas parciales de η respecto de las tres variables/incógnita A,B,D, valgan cero respectivamente.

MAT U (3,3) x MAT V (3,1) = MAT T (3,1)
MAT G = INV (U)
MAT V = G x T
De donde:
A = V(1,1)           ;          ...