Plano tangente a una superficie

SEPARATA DE MATEMÁTICA III
1. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie x2+y2+z2=4, que es ortogonal a la recta tangente en (1, 1, 3) y a la curva de intersección de lassuperficies z = x2+2y2; z = 2x2-3y2+4.
Solución
a) Hacer el gráfica alusivo del problema.
S3:

b) Hacer una modelo mental o un plan o una estrategia.

c) Ejecutar el plan.
* Hallar elvector a // Lt y perpendicular al plano tangente Pt.
Se tiene en cuenta los dos vectores normales de las dos superficies S1 y S2, estos vectores se define mediante el Gradiente, evaluados en el puntoP1=(1, 1, 3), esto es,
S1: x2 +2y2 – z = 0; entonces aquí F(x,y,z) = x2 + 2y2 -z ; N1=∇F(x,y,z)=(2x, 4y, -1)
N1=∇F(1,1,3)=(2, 4, -1).
S2:2x2-3y2 +4– z = 0; entonces aquí G(x,y,z) =2x2-3y2 +4-z ; N2=∇F(x,y,z)=(4x,-6y,-1)
N2=∇G(1,1,3)=(4, -6, -1).
Entonces, el a=N1xN2=ijk24-14-6-1= i(-4- 6) – j(-2+4) + k(-12-16) = -10i - 2j -28k Empleando el software MathCad 14,podemos hallar:

Por lo tanto:
a=(-10, -2, -28)
* Hallar la ecuación de la recta tangente:
Como ya se conoce el punto P1 = (1, 1, 3) por donde pasa la recta y además se tiene el vector paraleloa la recta Lt, entonces:

Lt = {P = P1 + a t, t∈R}={x,y,z=1,1,3+t(-10,-2-28)/ t∈R}

cuyas ecuaciones paramétricas son:
x = 1 -10t
y = 1 – 2t
z= 3 – 28t

* Hallar el punto tangencial P0:Como ya se conoce la ecuación Lt y la ecuación de la superficie esférica, la intersección de ambas nos dará el punto tangencial P0. En efecto,
x = 1 -10t
Lt: y = 1 – 2t S3: x2 + y2 + z2 = 4
z=3 – 28t
reemplazando x, y, z en S3, tenemos una ecuación en términos de la variable t, esto es,
(1-10t)2 + (1-2t)2 + (3-28t)2 = 4
Empleando el Software MathCad 14, tenemos:

entonces, el primerPunto Tangencial P01= (-0.6979, 0.6604, -1.7541)

entonces, el segundo Punto Tangencial P02 = (0.5357, 0.9071, 1.7000)

* Hallar la Meta, esto es, la ecuación del Plano Tangente a la...