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A. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)
La base teórica del método de integración por sustitución es la regla de la cadena, la cual establece que





d
f  g  x   f   g  x  g  x .
dx

Dado que la integración es la operación inversa de la diferenciación, al integrar ambos lados obtenemos

 f   g  x  g  x  dx  f  g  x .
Ahora, una integral dadaen esta forma la podemos transformar mediante la sustitución u  g  x  con la cual resulta que

du  g   x  dx y

 f   g  x  g  x  dx   f  u  du  f u   f  g  x  .
Al sustituir u  g  x  en la integral original ésta se transformar en una más simple que involucra la variable u .
Después de resolver la integral transformada se debe regresar a la variable original xcambiando la variable u por g  x  .

B. INTEGRACIÓN POR PARTES
Según la regla para la derivada de un producto de funciones,

 f  x  g  x   f  x  g  x   g  x  f   x  ,
podemos ver que f  x  g  x  es una antiderivada de la función f  x  g   x   g  x  f   x  ; es decir,



  f  x  g x   g  x  f  x  dx  f  x  g  x  .
Ahora, deacuerdo con las propiedades básicas de la integral indefinida, la ecuación anterior se puede expresar como

 f  x  g x  dx   g  x  f  x  dx  f  x  g  x  ,
por lo tanto,

 f  x  g x  dx  f  x  g  x    g  x  f  x  dx .
Equivalentemente, si u  f  x  y v  g  x  , entonces du  f   x  dx , dv  g   x  dx y la fórmula anterior se
expresa como:

 udv uv   vdu .

C. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

 sen

Integrales de la forma

m

 n es impar ( n  2k  1 ; k un entero). sen m x cosn x  sen m x cos

x cos n xdx

2 k 1





k

x  sen m x 1  sen 2 x cos x .

Usamos la sustitución u  sen x  du  cos xdx .
 2 k 1

 m es impar ( m  2k  1 ; k un entero). sen m x cosn x   sen x 





k

cosn x 1  cos2 x cosn x sen x .

Utilizamos la sustitución u  cos x  du   sen xdx .
 m y n son pares. Se emplean las identidades: sen 2 x  1 1  cos  2 x   y cos2 x  1 1  cos  2 x   ; a veces se usa
2
2

sen x cos x  1 sen  2 x  .
2

Integrales de la forma





n es par. secn x  secn-2 x sec2 x  sec2 x



n-2
2

 tan

m



x secn xdx



sec2 x tan 2 x  1

n-2
2

sec2 x . Usamos la sustitución

u  tan x  du  sec2 xdx .


m es impar. tan m x secn x  tan m1 x secn1 x tan x sec x   sec2 x  1

m 1
2

secn1 x tan x sec x.

Usamos u  sec x  du  sec x tan xdx .




n es impar y m es par. tan m x  tan 2 x

  sec
m
2



2



m

x  1 2 . Aplicamos

Integrales de la forma sen mx cosnxdx,

 sec

n

 sen mx sen nxdx, y  cos mx cos nxdx

Se utilizan, respectivamente, las identidades:
1
sen  A  B   sen  A  B  

2
1
sen A sen B  cos  A  B   cos  A  B  

2
1
cos A cos B  cos  A  B   cos  A  B  

2

sen A cos B 

xdx .

D. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Cuando el integrando contiene una expresión de laforma

a2  x2 ,

a2  x2 , o

x 2  a 2 , donde a  0 , se

emplean una sustitución trigonométrica adecuada que transforma la integral original en otra que contiene funciones
trigonométricas y es más fácil de resolver. Las sustituciones adecuadas son:

a2  x2

x  a sen  dx  a cos d ,      
2
2

1  sen 2  cos2

a2  x2

x  a tan  dx  a sec2 d ,      2
2

1  tan 2  sec2

x2  a2


x  a sec  dx  a sec tan d , 0     o     32
2

sec2  1  tan 2

E. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES
CASO 1 El denominador Q  x  es un producto de factores lineales distintos.
Significa que Q  x  tiene k factores lineales, es decir
Q  x    a1 x  b1  a2 x  b2 

 ak x  bk ...