Planos en el espacio

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Rosario

PLANOS EN EL ESPACIO
Autor: Eduardo Gago

Año 2015

PLANOS EN EL ESPACIO

Eduardo Gago

PLANO
1. Ecuación general del plano
La ecuación general (o cartesiana en forma implícita) de un plano se puede determinar a
partir de un punto Po xo , yo , z o  y un vector no nulo n  (a, b, c) .
n=(a,b,c)

Px, y, z 




Po xo , y o , z o Fig. 1. Gráfica de una sección de un plano

El plano de la Fig. 1 contiene al punto arbitrario Po y es perpendicular (o normal) al
vector n, se observa que para todos los puntos Px, y, z  del plano, los vectores n y Po P
son perpendiculares, entonces:
n  Po P  n. Po P  0
n. Po P  0 (1)
La ec. (1) se denomina ecuación vectorial del plano. Si se desarrolla esta ecuación se
obtiene:
(a, b, c) .x  xo , y  yo , z  z o   0
ax  xo   b y  yo   cz  zo   0 (2)
La ec. (2) se denomina ecuación canónica del plano, a partir de ésta y operando
algebraicamente se obtiene:
ax  axo  by  byo  cz  cz o  0

ax  by  cz  axo  byo  cz o   0 (3)

En la ec. (3) se observa que el término  axo  byo  cz o  es un número real y a dicho
número se lo designa con la letra “ d ”
ax by  cz  d  0 (4)

La ec. (4) se denomina Ecuación general del plano

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1.1. Observaciones:
 En la ec. (4) los coeficientes a , b y c representan las componentes de un vector
perpendicular (o normal) a dicho plano.
 No existe un único vector perpendicular a un plano sino que por el contrario
existen infinitos vectores normales a un plano.
 La ec. (4)indica que existen infinitos puntos que pertenecen a un plano
1.2. Ejemplos:
1.2.1. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P1,7,5 y que es
perpendicular al vector n  (2,4,3)
Solución:
Para encontrar la ecuación general de un plano se necesita conocer un vector
perpendicular al plano y un punto perteneciente al mismo.
En este caso se conoce el vector n perpendicular al plano,entonces las componentes de
n son los coeficientes que acompañan a las variables en la ecuación del plano.
 2 x  4 y  3z  d  0 (5)

Ahora si se conoce un punto de paso del plano, entonces reemplazando las coordenadas
del punto de paso por las variables x, y y z en la ec. (5) se puede obtener el término
independiente “ d ”

 2.1  4(7)  3.5  d  0  45  d  0  d  45
Entonces laecuación general del plano resulta:  2 x  4 y  3z  45  0
1.2.2. Obtener la ecuación del plano que contiene a los puntos A3,2,1 ; B2,3,7 y
C 4,5,2
Solución:
En la Fig. 2 se observa la interpretación gráfica de la situación inicial
C (4,5,2) 

C (4,5,2) 



A(3,2,1)

B(2,3,7)

Fig. 2 Plano que contiene a tres puntos


A(3,2,1)


B(2,3,7)

Fig. 3. Plano que contiene a losvectores AB y AC

Como se dijo en el ejemplo 1.2.1 para encontrar la ecuación general del plano se
necesita conocer un vector perpendicular al plano y un punto perteneciente al mismo.
Se conocen como datos tres puntos contenidos en el plano pero no se da un vector
normal. En la Fig. 3 se observa que a partir de estos tres puntos se pueden formar dos
vectores AB y AC . Si se calcula el producto vectorialentre los vectores AB y AC se
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obtiene un vector n perpendicular a ambos vectores que a la vez resulta normal al plano.
(Fig. 4)
n
C (4,5,2) 


B(2,3,7)


A(3,2,1)

Fig. 4. Plano con el vector perpendicular n

 1  5 8    5 8 1 8 1  5 
  61,7 ,12
  
n  AB  AC  
,
,

 1  7  1   7  1 1  1 1  7 
Si se reemplazan loscoeficientes a, b y c de la ec. (4) por las componentes del vector n
resulta:
61x  7 y  12 z  d  0
Para concluir el ejercicio tenemos que calcular “ d ”, con este objetivo se necesita un
punto de paso. Como se conocen tres puntos de paso entonces se puede tomar
cualquiera de ellos. Si se considera por ejemplo el punto A , y se lo reemplaza en la
ecuación del plano se obtiene el valor del...