Planos tangentes

Plano Tangente, Recta Normal

Ing. Luis Di Stefano

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Plano Tangente, Recta Normal.

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces laecuación del plano r tangente en un punto x0 = ( x0 , y0 , z0 ) de la superficie viene definido por la ecuación:

r r r r ∇Fx0 o ( x − x0 ) = 0

∂F ∂x

r x0

( x − x0 ) +

∂F ∂y

r x0

( y− y0 ) +

∂F ∂z

r x0

( z − z0 ) = 0

Y la recta normal (ecuación simétrica) por:

( x − x0 ) = ( y − y0 ) = ( z − z0 )
∂F ∂x
r x0

∂F ∂y

r x0

∂F ∂z

r x0

Si la ecuación dela tangente en el punto

superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano r x0 = ( x0 , y0 , z0 ) viene definida por: ( utilizamos la transformación afínaproximante)

z=

∂f ∂x

r x0

( x − x0 ) +

∂f ∂y

r x0

( y − y0 ) + f ( x0 , y0 )

∂f ∂x

r x0

( x − x0 ) +

∂f ∂y

r x0

( y − y0 ) − ( z − z0 ) = 0

Y la ecuación (ecuaciónsimétrica) de la recta normal:

( x − x0 ) = ( y − y0 ) = ( z − z0 )
∂f ∂x
r x0

∂f ∂y

−1

r x0

Plano Tangente, Recta Normal

Ing. Luis Di Stefano

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1.

Encontrarlas ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva intersección del elipsoide

x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 = 27 y el hiperboloide x 2 + y 2 − 2 z 2 = 11 en el punto (3,-2,1)
Solución Para encontrarla ecuación de la recta tangente, calculamos los gradientes de las dos superficies en el punto (3,-2,1). El producto vectorial de esos dos gradientes será un vector tangente a ambas superficies en elpunto (3,-2,1). Para el elipsoide, hacemos

F ( x, y, z ) = x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 − 27 = 0
y obtenemos

Que implica:

F ( x, y , z ) = 0

Para el paraboloide hacemos

y obtenemos

Elproducto vectorial de estos dos vectores es

Por lo tanto, los números 10, 6 y 9 dan la dirección de la recta tangente buscada. La ecuación simétrica de la recta tangente en (3,-2,1) resulta ser...