Planos y rectas en el esoacio
Páginas: 2 (328 palabras)
Publicado: 8 de septiembre de 2015
Rectas y planos en el espacio
Rectas en el espacio
En el plano se usa el concepto de pendiente para expresar la ecuación de una recta. En el espacio es másconveniente utilizar vectores.
Consideremos la recta L que pasa por el punto P(x0, y0, z0) y es paralela al vector v = < a, b, c >. El vector v es el vector dirección (o vectordirector) de la recta L, y a, b, c son sus números de dirección(o números directores). La recta L contiene los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es paralelo av. eso significa que PQ es un múltiplo escalar de v, de modo que PQ = tv, donde t es un escalar.
PQ = < x - x0, y - y0, z - z0 > = < at, bt, ct > = tv
Igualando lascomponentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio: x = x0 +at, y = y0 +bt y z = z0 +ct
Si los númerosdirectores son todos distintos de cero, se despeja t y se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta:
Si alguno de los números directores es cero, por ejemplo b = 0,podemos expresar las ecuaciones de L de la siguiente manera:
Planos en el espacio
Un plano en el espacio se puede deducir a partir de un punto y un vector normal(perpendicular) a el. Consideremos el plano que contiene a el punto P(x0, y0, z0) y con un vector normal no nulo n = < a, b, c >. El plano consta de todos los puntos Q(x, y, z)para los que el vector PQ es perpendicular a n, por lo tanto:
n· PQ = 0
< a, b, c > · < x - x0, y - y0, z - z0 > = 0
Lo que nos da la forma canónica de la ecuación delplano:
a( x - x0) + b( y - y0) + c( z - z0) = 0
Reagrupando términos se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio:
ax + by + cz + d = 0
Rectas y planos en el espacio
Rectas en el espacio
En el plano se usa el concepto de pendiente para expresar la ecuación de una recta. En el espacio es másconveniente utilizar vectores.
Consideremos la recta L que pasa por el punto P(x0, y0, z0) y es paralela al vector v = < a, b, c >. El vector v es el vector dirección (o vectordirector) de la recta L, y a, b, c son sus números de dirección(o números directores). La recta L contiene los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es paralelo av. eso significa que PQ es un múltiplo escalar de v, de modo que PQ = tv, donde t es un escalar.
PQ = < x - x0, y - y0, z - z0 > = < at, bt, ct > = tv
Igualando lascomponentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio: x = x0 +at, y = y0 +bt y z = z0 +ct
Si los númerosdirectores son todos distintos de cero, se despeja t y se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta:
Si alguno de los números directores es cero, por ejemplo b = 0,podemos expresar las ecuaciones de L de la siguiente manera:
Planos en el espacio
Un plano en el espacio se puede deducir a partir de un punto y un vector normal(perpendicular) a el. Consideremos el plano que contiene a el punto P(x0, y0, z0) y con un vector normal no nulo n = < a, b, c >. El plano consta de todos los puntos Q(x, y, z)para los que el vector PQ es perpendicular a n, por lo tanto:
n· PQ = 0
< a, b, c > · < x - x0, y - y0, z - z0 > = 0
Lo que nos da la forma canónica de la ecuación delplano:
a( x - x0) + b( y - y0) + c( z - z0) = 0
Reagrupando términos se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio:
ax + by + cz + d = 0
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