planos y rectas

MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Rectas y Planos

CIENCIAS

MaTEX
Rectas y
Planos

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

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ıculo

c 2004 gonzaleof@unican.es
10 de junio de 2004

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Sistema de referencia
• Vector de dos puntos •Punto medio de dos puntos
2. Ecuaciones de la recta
2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta
3. Ecuaci´n del plano
o
3.1. Tipos de Ecuaciones del plano
4. Posici´n relativa de dos planos
o
4.1. Haz de planos
5. Posici´n relativa de recta y plano
o
6. Posici´n relativa de tres planos
o
7. Posici´n relativa de dos rectas
o
• Rectas paralelas • Rectas coincidentes • Rectas que se cortan ose cruzan
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Rectas y
Planos

Tabla de Contenido

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Secci´n 1: Sistema de referencia
o

3

MATEMATICAS
2º Bachillerato

z

1. Sistema de referencia

r=A+lu
A

P

Un sistema de referencia en el espacio consta de un punto O llamado origen y tresvectores {i, j, k}.
Cualquier punto P (x0 , y0 , z0 ) tiene
−
−
→
un vector de posici´n OP .
o
−
−
→
OP = x0 i + y0 j + z0 k

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

z0

O

j

i

y
x0

y0
z

x

• Vector de dos puntos

A

Dados los puntos A(x0 , y0 , z0 ) y
B(x1 , y1 , z1 ) se tiene
−
→ −
−
→ −→
−
OA + AB = OB

−
→
AB
k
O

luego

i

B
j

MaTEX

y

Rectas yPlanos

k

−
−
→ −→ −
−
→
AB = OB − OA

x

−
→
AB = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )

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Secci´n 1: Sistema de referencia
o

4

r=A+lu

• Punto medio de dos puntos

A

d

A

B
s=B+mv

CIENCIAS

M
B

luego
(B−A) = 2 (M −A) =⇒ M =

M=

A+B
2

MaTEX

O

x0 + x1 y0 + y1 z0 + z1
,
,
2
2
2

−
−
→
Ejemplo 1.1. Hallar elvector AB y el punto medio de los puntos A(−1, 3, 4)
y B(3, 1, 2).
Soluci´n:
o
−
−
→
AB = B − A = (3, 1, 2) − (−1, 3, 4) = (4, −2, 2)
−1 + 3 3 + 1 4 + 2
M=
,
,
= (1, 2, 3)
2
2
2

Rectas y
Planos

Dados los puntos A(x0 , y0 , z0 ) y
B(x1 , y1 , z1 ) se tiene que el punto
medio del segmento AB verifica
−
−
→
−→
−
AB = 2 AM

MATEMATICAS
2º Bachillerato

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Secci´n 2: Ecuaciones de la recta
o

5

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

2. Ecuaciones de la recta

A

Definici´n 2.1 La ecuaci´n de una recta viene determinada por un punto
o
o
A(x0 , y0 , z0 ) y un vector u.
r ≡< A; u >
En el dibujo se observa que un punto X pertenece a la recta r, si el vector
−→
−
−→
−
AX es proporcional al vector u, es decir AX = λ u paraalg´n λ ∈ R.
u

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX

−→ −
−
→ −→
−
OX = OA + AX
−→ −→ −
−
−
→
AX = OX − OA
−→ −
−
→
OX − OA = λ u
(X − O) − (A − O) = λ u
despejando X se obtiene la ecuaci´n
o

r ≡ X = A + λu

A
u

X
r

(1)

O

Rectas y
Planos

Siendo

en coordenadas se obtiene
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 )
Dependiendo de como escribamos laexpresi´n anterior obtenemos diferentes
o
ecuaciones de la recta.

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Secci´n 2: Ecuaciones de la recta
o

6

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta

A

Ecuaci´n Vectorial. Expresando la ecuaci´n 1 en coordenadas
o
o
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 )

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

Ecuaciones Continua.Despejando en la expresi´n anterior el par´metro
o
a
λ e igualando
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
u1
u2
u3
Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, es decir, agrupando t´rminos y ordenando se obtiene las expresiones:
e
Ax + By + Cz + D
Ax+B y+C z+D

= 0
= 0

MaTEX
Rectas y
Planos

Ecuaciones Param´tricas. Separando las componentes
e

x = x0 + λ u1 
y = y0 + λ u 2

z =...