planos

Cálculo Multivariable

___ de ________ de 20___
Primer Parcial
Unidad 1 VECTORES Y GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
1.4 Planos en el espacio

TEOREMA 12: Ecuación canónica o estándar de un plano en elespacio

El plano que contiene el punto  x1 , y1 , z1  y tiene un vector normal n  a , b, c puede representarse en forma
canónica o estándar, por medio de la ecuación
a  x  x1   b y  y1  c z  z1   0
Obs.5:
 La ecuación anterior de un plano en el espacio, se obtiene a partir de un punto en el plano y de un vector normal
(perpendicular) al plano (ver figura 13).

Fig. 13Nota 11:
 Forma general de la ecuación de un plano en el espacio: ax  by  cz  d  0

Ejemplo 17:
Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos (2, 1, 1), (0, 4, 1) y (-2, 1,4).

Trazado de planos en el espacio
Def. 14:
Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, la recta de intersección se le llama traza del
plano dado en el plano coordenado. Paradibujar un plano en el espacio, hay que hallar sus puntos de intersección
con los ejes coordenados y sus trazas en los planos coordenados.
Ejemplo 18:
Dada la siguiente ecuación del plano 3 x  2 y 4 z  12 , encuentre las trazas correspondientes a los planos
xy, yz y xz, grafíquelas y sombree la región triangular que se encuentra en el primer octante.
Nota 12:
 Si en una ecuación de unplano está ausente una variable, el plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable
ausente.
 Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, éste plano es paralelo al planocoordenado correspondiente a las variables
ausentes.
 Ver figura 14.

13

 M.E.M. Mónica Livier Mendiola Cárdenas

Cálculo Multivariable

El plano

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Primer ParcialUnidad 1 VECTORES Y GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
1.4 Planos en el espacio

es paralelo al
plano yz.

ax  d  0

El plano

es paralelo al
plano xz.
Fig. 14

by  d  0

El plano

es...