planos

4. Distancia entre dos puntos

Si se conocen las coordenadas de dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) en un plano real entonces es posible hallar la distancia entre ellos.
Sean dos puntos cualesquiera P(x1, y1) y Q(x2, y2), entonces considerando los tres casos siguientes podemos obtener una fórmula para la distancia d entre P y Q.
Caso 1. Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre la misma rectahorizontal. En este caso, las ordenadas de P y Q son iguales; ésto es, y1 = y2 y la distancia entre ellos es:
d = x2 – x1
Caso 2. Los puntos P(x2, y2) están sobre la misma vertical. En este caso, las abscisas de P y Q son iguales, ésto es,
x1 = x2 y la distancia entre ellos es:
d = / y2 – y1 /
Tal como se muestra en la figura
Caso 3. Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre una rectaque no es vertical ni horizontal. En este caso, las abscisas son distintas y las ordenadas también; y se obtiene un triángulo rectángulo como se muestra en la figura.
Si llamamos:
d(P, Q) la distancia de P a Q
d(P, R) la distancia de P a R
d(R, Q) la distancia de R a Q
Por el Teorema de Pitágoras tenemos:
[d(P, Q)]2 = [d(P, R)]2 + [d(R, Q)]2
= / x2 - x1 /2 + / y2 - y1 /2
= (x2 - x1)2 + (y2 -y1)2
y así: d(P, Q) = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 o simplemente
d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Llamada fórmula de la distancia en el plano real.
Es interesante observar que la fórmula d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 también es aplicable en los casos I y II.
Ejemplos:

Representar gráficamente los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3) y hallar la distancia entre ellos.

Los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3)se muestran en la figura.
Observa que los puntos P y Q están en una misma recta horizontal y la distancia entre ellos es la distancia entre las abscisas –2 y 4.
d(P, Q) = /42 – x1 /
= /4 – (-2) /
= 6
También se puede utilizar la fórmula
d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
d = (4 – (-2))2 + (3 – 3)2
d = 36 = 6

Los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3) se muestran en lafigura. Observa que los puntos P y Q están en una misma recta vertical, y la distancia entre ellos es la distancia entre las ordenadas 5 y –3.
d(P, Q) = / y2 - y1 /
= / - 3 – 5 /
= 8
También se puede utilizar la fórmula:
d = √ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
= √ (-2-(-2))2 + (-3-5)2
= √64
= 8
Representar gráficamente los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3), y hallar ladistancia entre ellos.

Los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) se muestran en la figura. La distancia entre ellos la calculamos mediante la fórmula:
d(P, Q) = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
= √ (2 –(-2))2 + (5 – 2)2
= √ 42 + 32
= √ 25
= 5
Representar gráficamente los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) y hallar la distancia entre ellos:

Los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) se muestranen la figura. La distancia entre ellos se calcula mediante la fórmula:
d(P, Q) = √(x2 – x1)2 + (y2 - y1)2
= √(4 – (-3))2 + (-2 – 3)2
= √72 + (-5)2
= √49 + 25
= √74
Representa gráficamente los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) y hallar la distancia entre ellos.
Demostrar que P(-5, 3), Q(3, 2) y R(-1, -4) son los vértices de un triángulo isósceles:

Representemosgráficamente los tres puntos P, Q, R y el triángulo ∆ PQR que ellos determinan. El ∆PQR es isósceles si dos de sus lados tienen la misma longitud.
Hallemos d(P,Q), d(Q, R), y
d(P, R)
d(P, Q)= √[3-(-5)]2 + (2-3)2
= √64 + 1
= √64
d(Q, R) = √(- 1 – 3)2 + (- 4 – 2)2
√16 + 36
√52
d(P, R) = √[-1 – (-5)]2 + (-4 – 3)2
= √16 + 49
= √65
Comparando los resultados de (1) y (3) vemos que:
d(P, Q) = d(P,R)
Y así, el ∆ es isósceles porque dos de sus lados tienen la misma longitud.

5. Funciones con valores reales

Función: Término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried...