Plantas de vapor

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´ ´ UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON ´ ´ Facultad de Ingenier´ Mecanica y Electrica ıa

Control Moderno
Ene.-Jun. 2007 Observabilidad y Observadores de Estado
Dr. Rodolfo Salinas mayo 2007

Control Moderno N1
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Resumen de clase

• Observabilidad - propiedad de los sistemas din´micos para poder estimar a variable estado •Observador de estado - estructura de retroalimentaci´n que se utiliza o para estimar variable de estado Reconstrucci´n de la variable de estado. o • Configuraciones: – Observador de lazo abierto – Observador de lazo cerrado • Ejemplos

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Observabilidad
Un sistema din´mico es observable en t0 si x(t0) puede serdeterminado a a partir de la se˜al de salida y[t0,t1] para t0 ∈ T y t0 ≤ t1, donde t1 es un n tiempo finito contenido en T . Para todo t0 y x(t0). • Propiedad del acoplamiento entre x(t) y y(t), por lo cual se involucra el par de matrices (A, C) • Permite determinar si las variables del sistema se pueden estimar o no • Matriz de observabilidad O = C T dimensi´n O ∈ Rn×mn o AT C T A2 C T
T

···

An−1 C T,

T

• La condici´n es similar a la controlabilidad, para la observabilidad es o necesario que ρ(O) = n • Para un sistema observable, es posible asignar los valores propios de A − LC arbitrariamente.
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Motivaci´n de un observador de estado o
El dise˜o de un control por retroalimentaci´n de estado se hizoasumiendo n o que x(t) es conocido. Problema: Generalmente, este no es el caso en la pr´ctica, donde existen a factores que no permiten disponer de ellos: • Las variables no siempre son conocidas por no ser accesibles a medici´n o o por falta de sensores o transductores para realizar esta tarea. • De tal manera, para realizar control por retroalimentaci´n de estado, o es necesario encontrar un substitutodel vector de estado Objetivo: Explicar c´mo por medio de las entradas y salidas conocidas del o sistema se puede alimentar una estructura llamada estimador de estado para que sus salidas se aproximen al vector de estado del sistema.
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Observador de estado
Cuando no se conoce el valor x(t), para implementar unaretroalimentaci´n o de estado: • Es necesario dise˜ar dispositivo din´mico de estimaci´n de estado n a o • Su estructura tiene como entrada, la entrada u(t) y la salida y(t) del sistema original, y su salida es el vector de estado estimado x(t) ˆ • Se utiliza en un sistema de control donde no se pueda medir variables para determinar entrada u(t) = −K x(t) ˆ
r u
B

x.

1 s

x
C

y

A

x^
Kobservador

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Esquema de estimaci´n de variable de estado o
El sistema din´mico esta dado como a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) • Ec. de salida y = Cx determina las variables medidas, disponibles o conocidas. • A, B, y C son conocidas, entrada u(t) es conocida. • Las variables medidas son dadas por y = Cx,C=I

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Estructura del observador de estado de lazo abierto
Duplicar x(t) la ecuaci´n de estado que representa el sistema original x(t) ˆ o A partir de una copia del sistema es posible realizar una estimaci´n o x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) ˙ x(t) = Aˆ(t) + Bu(t) ˆ x y (t) = C x(t) ˆ ˆ
u
B

x.

1 s

x
Cy

A

x^.
B

1 s

x^

A

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An´lisis del observador de estado de lazo abierto a

x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ ˙ x(t) = Aˆ(t) + Bu(t) ˆ x Error de estimaci´n x(t) = x(t) − x(t) o ˜ ˆ d (x − x) = A(x − x) ˆ ˆ dt y se desea tener x(t) = 0, ∀t ˜

Es posible verificar el comportamiento de la variable restando...