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Año académico: 2006-2007


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: BACH
1º CCSS



Complementos teórico-prácticos.

Tema: Combinatoria.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Combinatoria.

Introducción a la combinatoria.

Ideas intuitivas previas:
Supuesto_1:dado de quinielas futbolísticas, caras 1 x 2 , son los posibles signos que pueden aparecer al lanzar el dado una vez, si lo lanzamos varias veces, ¿Qué combi­naciones de signos podríamos obtener?.
Para el caso de tres lanzamientos tendríamos:


















Lo mismo para la x y el 2.
Este tipo de estructura es conocido como diagrama de árbol, cada resultado posible delprimer lanzamiento ocu­pa un vértice o punto de partida de las ramas de enlace con los resultados posibles del segundo lanzamiento, y así sucesivamente.
Para formar los pares, ternas, cuartetos, etc. …, finales, tras dos, tres, cuatro, etc. …, lanzamientos, debemos seguir todas las ramas a partir del primer vértice hasta el último, aquel del que ya no salen más ramas, y anotar ordenadamente losdistintos vértices que hemos encontrando por el camino.
En nuestro caso, suponiendo que salió un 1 (uno) en el primer lanzamiento, en el segun­do podrían salir 1, x ó 2, los cuales forman los vértices del segundo lanzamiento, y así sucesivamente.



Para el supuesto de que primero hubiese salido un 2, tendríamos el diagrama:


















Y por último, para el supuesto deque hubiera salido la x:


















Es decir, tendríamos 9 ternas para cada uno de los tres supuestos, en total 27 ternas po­sibles que se diferencian en los elementos que las componen o en el orden en que éstos figuran dentro de la misma.
Visto de otro modo, tendríamos 3 posibles casos diferentes en el primer lanzamiento, 3 distintos, para cada uno de los primeros, en elsegundo, y 3 distintos, para cada uno de éstos, en el tercero, en total .
Supuesto_2: en el turno de noche de una planta de un hospital son necesarias dos enfermeras. En plantilla hay tres Ana, Teresa y Carmen, ¿De cuántas mane­ras diferentes pueden hacer las guardias?.























Solo hay tres posibles turnos distintos. ¿Por qué no ha funcionado en este casoel dia­grama de árbol?. La razón es muy simple, en este caso el orden no tiene importancia, es lo mismo el turno de Ana y Carmen que el de Carmen y Ana. En este caso tendríamos 3 posibilidades inicialmente y 2 en el segundo paso, luego serían casos posibles, pero como cada caso se repite dos veces, el total de casos distintos es .
Principio de la multiplicación: si en el proceso de formación delas muestras se necesitan k-etapas, cada una de las cuales se puede realizar de maneras distintas, respectivamente, el número total de muestras se obtiene del producto de los números .
Una muestra es una colección de elementos de un conjunto dado. Puede estar constituida por parte de los elementos dados o por todo el conjunto. Puede ser ordenada o no, según influya el orden de los elementos enla formación de la muestra o no.
Tres atletas, Pedro, Ana y Luis pueden llegar a la meta de modos distintos, ya que el primero será el ganador (oro) y los otros dos se deberán contentar con la plata y el bronce. Luego el orden sí es importante en este caso, pero si se tratase de participar en distintas competiciones y solo se presentan ellos el orden para acudir a las mismas no importa, siempreserán los mismos tres.
Combinatoria: es la rama de las Matemáticas que nos permite realizar recuen­tos, complicados de llevar a cabo, de un modo sencillo. Son nuevas técnicas de con­tar y calcular posibilidades de agrupamientos o de distribuciones de elementos en cajas, colores, formas, etc. …
Problemas combinatorios: la mayoría de los problemas de combinatoria se suelen resumir en dos tipos...