Planteamiento de los modelos lineales
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Publicado: 5 de octubre de 2010
PLANTEAMIENTO DE LOS MODELOS LINEALES
En general, un Gerente trata de maximizar las utilidades ó minimizar los costos, para lograrlo cuenta con un conjunto de factores llamadas variables de decisión, y también con limitaciones ó restricciones.
Un modelo matemático es una representación simplificada del problema real de decisión donde las variables de decisión, el objetivo del modelo y lasrestricciones se representan mediante símbolos matemáticos y ecuaciones. Un modelo lineal, es un tipo particular del modelo matemático, en el cual las relaciones que intervienen las variables son lineales y con un objetivo único.
En el Modelo Lineal hay tres elementos básicos:
1) Variables de decisión: Símbolo que se utiliza para representar una cantidad ó nivel de actividades desconocidas yque conocemos comúnmente como incógnitas y las representamos por x1, x2, .... , xn ó en algunos casos con dos o más subíndices, xij , y se deben determinar en la solución del modelo.
2) Un Objetivo ó meta: Que tratamos de optimizar que esta representada por una función lineal basándose en las variables de decisiones que llamaremos Función Objetivo. Y la expresamos por: Máx (Min) Z=F(x1, x2,.... , xn)= C1x1+C2x2+.... + Cn xn donde los coeficientes representan las contribuciones de cada variable al objetivo.
3) Restricciones: Limitaciones que necesitamos satisfacer ó disponibilidad de recursos escasos y se expresan como un conjunto de restricciones lineales, es decir,
ai1 x1+ ai2 x2+……+ain xn [(, (, =] bi donde i representa el número de limitaciones presentes en el modelo, loscoeficientes de las restricciones se llaman coeficientes tecnológicos ó tasas físicas de sustitución y representan la tasa a la cual los recursos escasos se convierten en las variables de decisión que se desean. Los valores bi representan la cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades.
Tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales que cumplen conla proporcionalidad, la aditividad y la divisibilidad.
La Proporcionalidad: La contribución de cada variable de decisión tanto en la función objetivo como en las restricciones, serán directamente proporcional al valor de la variable y esa proporcionalidad esta reflejada por los coeficientes.
La Aditividad: Establece que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y enlas restricciones sea la suma directa de la contribución individual de cada variable.
La Divisibilidad: Las variables de decisiones en un modelo lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, esta actividad se puede realizar a niveles fraccionales. Cuando esto no esposible entonces estamos en presencia de un modelo lineal Entero.
Además de los tres elementos básicos, si exigimos que las variables de decisión sean no negativas, estamos en presencia de un Modelo de Programación lineal (P.L.)
Luego el modelo se plantearía en forma matemática de la siguiente manera:
Máx (Min) Z= C1x1+C2x2+.... + Cn xn
s.a.
ai1 x1+ai2 x2+……+ain xn [(, (, =] bi( i = 1,2, … , m
( xi ( 0
PASOS PARA CONSTUIR EL MODELO:
1) Defina claramente las variables de decisión tanto cuantitativamente como cualitativamente.
2) Plantear el objetivo del modelo, es decir, la función objetivo, determinando la contribución de cada variable de decisión a la función objetivo para que esta sea consistente con su valor, es decir, los valores que tendranlos coeficientes de cada variable de decisión así como las unidades que representan.
3) Plantear las restricciones, determinado cuales son las relaciones físicas que existen entre las variables de decisiones y los recursos escasos disponibles para que sean consistentes estas limitaciones ó restricciones, es decir, los valores que van atener los coeficientes tecnológicos de cada variable...
En general, un Gerente trata de maximizar las utilidades ó minimizar los costos, para lograrlo cuenta con un conjunto de factores llamadas variables de decisión, y también con limitaciones ó restricciones.
Un modelo matemático es una representación simplificada del problema real de decisión donde las variables de decisión, el objetivo del modelo y lasrestricciones se representan mediante símbolos matemáticos y ecuaciones. Un modelo lineal, es un tipo particular del modelo matemático, en el cual las relaciones que intervienen las variables son lineales y con un objetivo único.
En el Modelo Lineal hay tres elementos básicos:
1) Variables de decisión: Símbolo que se utiliza para representar una cantidad ó nivel de actividades desconocidas yque conocemos comúnmente como incógnitas y las representamos por x1, x2, .... , xn ó en algunos casos con dos o más subíndices, xij , y se deben determinar en la solución del modelo.
2) Un Objetivo ó meta: Que tratamos de optimizar que esta representada por una función lineal basándose en las variables de decisiones que llamaremos Función Objetivo. Y la expresamos por: Máx (Min) Z=F(x1, x2,.... , xn)= C1x1+C2x2+.... + Cn xn donde los coeficientes representan las contribuciones de cada variable al objetivo.
3) Restricciones: Limitaciones que necesitamos satisfacer ó disponibilidad de recursos escasos y se expresan como un conjunto de restricciones lineales, es decir,
ai1 x1+ ai2 x2+……+ain xn [(, (, =] bi donde i representa el número de limitaciones presentes en el modelo, loscoeficientes de las restricciones se llaman coeficientes tecnológicos ó tasas físicas de sustitución y representan la tasa a la cual los recursos escasos se convierten en las variables de decisión que se desean. Los valores bi representan la cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades.
Tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales que cumplen conla proporcionalidad, la aditividad y la divisibilidad.
La Proporcionalidad: La contribución de cada variable de decisión tanto en la función objetivo como en las restricciones, serán directamente proporcional al valor de la variable y esa proporcionalidad esta reflejada por los coeficientes.
La Aditividad: Establece que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y enlas restricciones sea la suma directa de la contribución individual de cada variable.
La Divisibilidad: Las variables de decisiones en un modelo lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, esta actividad se puede realizar a niveles fraccionales. Cuando esto no esposible entonces estamos en presencia de un modelo lineal Entero.
Además de los tres elementos básicos, si exigimos que las variables de decisión sean no negativas, estamos en presencia de un Modelo de Programación lineal (P.L.)
Luego el modelo se plantearía en forma matemática de la siguiente manera:
Máx (Min) Z= C1x1+C2x2+.... + Cn xn
s.a.
ai1 x1+ai2 x2+……+ain xn [(, (, =] bi( i = 1,2, … , m
( xi ( 0
PASOS PARA CONSTUIR EL MODELO:
1) Defina claramente las variables de decisión tanto cuantitativamente como cualitativamente.
2) Plantear el objetivo del modelo, es decir, la función objetivo, determinando la contribución de cada variable de decisión a la función objetivo para que esta sea consistente con su valor, es decir, los valores que tendranlos coeficientes de cada variable de decisión así como las unidades que representan.
3) Plantear las restricciones, determinado cuales son las relaciones físicas que existen entre las variables de decisiones y los recursos escasos disponibles para que sean consistentes estas limitaciones ó restricciones, es decir, los valores que van atener los coeficientes tecnológicos de cada variable...
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