Plasticidad

8 PLASTICIDAD Ecuaciones constitutivas en el caso uniaxial
Contrariamente a lo que sucede en elasticidad, en plasticidad no existe una relación σr biunívoca entre tensiones y deformaciones. Así, a una misma tensión le pueden σfl(εp) corresponder dos deformaciones diferentes obtenidas en un ciclo de carga y descarga. σfl Formalmente podemos decir que la ecuación constitutiva para materialeselastoplásticos no se puede expresar mediante una función ordinaria, sino por medio de un funcional cuyo argumento es la historia del proceso de deformación. En el caso de limitarnos a cargas o deformaciones monótonamente crecientes, tenemos una relación biunívoca que se expresa como:
σ

εfl εp Figura 8.1

εr

ε

si ε ≤ ε fl Eε  σ= p σ fl (ε ) si ε fl < ε ≤ ε r 
Para el caso general, enque la carga no es monótonamente creciente e incluye descargas y recargas, la ecuación constitutiva se puede escribir en forma incremental o de tasas (velocidades). Deformación elástica (E)
período elástico & σ = σ fl , σσ < 0 descarga σ < σ fl

Deformación plástica (P)
& σ = σ fl , σσ ≥ 0 carga

La ecuación constitutiva en forma incremental es:
& & e σ ε = E para (E ) &  ε= & & ε e +ε p = σ + σ para (P) & &  E H 

donde empleamos las relaciones E =
H=

dσ dε e dσ dε p

para (E) para (P)

E es el módulo de elasticidad. H es la denominada constante de endurecimiento. Escribiendo las tensiones en función de las deformaciones:
& Eε para (E)  & σ =  EH &  E + H ε para (P) 

o
E p = 0 para (E)  & & σ = (E − E p )ε con  EH para (P ) E p = E+H 

Durante ladeformación plástica, en general se tiene que H = H(ε p ) ; el caso H constante corresponde a un endurecimiento lineal, y el caso H = 0 a un material elastoplástico perfecto. 1

σ σr σfl H=cte

σ H=0

σfl

εfl

εr

ε Figura 8.2

εfl

εr

ε

Relaciones tensión - deformación aproximadas
Para obtener soluciones simples en problemas con materiales elastoplásticos muchas veces esnecesario simplificar o idealizar las relaciones tensión - deformación. Por ejemplo, en algunos casos es posible despreciar las deformaciones elásticas frente a las plásticas, considerar nulo el endurecimiento. Naturalmente, la simplificación o idealización de las relaciones tensión - deformación restringe su campo de validez. Relaciones idealizadas En la figura adjunta se representan lasrelaciones idealizadas más comunes junto con sus respectivos modelos reológicos. Estos modelos están constituidos por resortes que representan la componente elástica de la deformación y bloques con fricción que representan el efecto de la fluencia plástica. La ecuación correspondiente al resorte es la ley de Hooke σ = Eε , mientras que para el bloque:
& & σ indeterminado, ε = 0 si σ < σ fl & & & σ = 0, ε≠ 0 si σ = σ fl sig (ε)

a) Modelo elástico
σ E σ ε σ σ = Eε

b) Modelo rígido plástico perfecto
σ σfl σ ε & & σ indeterminado, ε = 0 si σ < σ fl & & & σ = 0, ε ≠ 0 si σ = σ fl sig (ε)

c) Modelo rígido plástico con endurecimiento lineal

σ
E σfl σ

ε

2

d) Modelo elastoplástico perfecto
σ σfl E σ  σ < σ fl & & σ = Eε  & σ = σ fl y σσ < 0  & σ=0 & & σ = σ fl y σσ > 0

εe) Modelo elastoplástico con endurecimiento lineal
σ Ep σfl E σ

ε

Relaciones empíricas En aplicaciones prácticas y usualmente en problemas unidimensionales, es común emplear ecuaciones empíricas para aproximar la curva tensión - deformación. Una expresión bastante usada es la fórmula de Ramberg - Osgood.
σ σ ε = +α o E E  σ  σ  o    
m

donde α y m son constantes adimensionadasy σ r la tensión de referencia. Esta relación graficada en la siguiente figura, permite representar analíticamente varios tipos de comportamientos elastoplásticos con distintos tipos de endurecimiento. Para m = 1 se tiene un material elástico de módulo
 σ Si m es impar  σ  o  σ  =  σo 
m m −1

E 1+ α

 σ  σ  o

  y la curva es la misma para tensiones de tracción o de...