Platica Ing Palomera

• La plática del día de hoy forma parte de un
esfuerzo conjunto que busca, principalmente,
el motivar y promover el estudio de las
matemáticas.
• El tema a tratar está relacionado con los temas
de ecuaciones diferenciales y el de la
tranformada de Laplace.
Laplace
• Tu presencia el día de hoy nos motiva a seguir
participando en este esfuerzo conjunto.

• Comité organizador

“Modelación y Estudiode las
ecuaciones diferenciales l.c.c.c. en
el dominio de Laplace (frecuencia)
utilizando MATLAB-SIMULINK”
Maestro: Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrónica y Automatización,
ITESM, Campus Monterrey
fpalomera@itesm.mx

Motivación
• Análisis y estudio intuitivo (no formal) de las
ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a través
de la transformada de Laplace.
• Ilustrar elcomportamiento de la respuesta de
sistemas físicos con la ayuda del programa
computacional MATLAB-SIMULINK.
El que haya personas interesadas en promover,
promover motivar
y escuchar sobre el tema de ecuaciones
diferenciales y la Transformada de Laplace.
Laplace

Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
-Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)

Sistema

-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)

Físico

- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (producción entre máquinas)

Sistema (Físico)
u(t)

Función forzante

y(t)

a modelar
Respuesta del sistema
Relación causal

Paraobtener una ecuación diferencial,
podemos utilizar:
• Leyes físicas:
físicas que de acuerdo a la naturaleza del sistema,

rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria

del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan
un comportamiento similar, a pesar de ser denaturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para
procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
…

Sistemas físico: Temperatura en un horno

Flujo de
Combustible:
qi(t)

Horno

Temperatura:
T(t)horno

Relación causal

Temperatura

Flujo de gas

Sistema Físico:Llenado de un tanque
Nivel: h(t);

Caudal de
entrada
p ( t ) : s e ñ a l q u e r e g u la
e l c a u d al h a c ia e l t a n q u e .

Tanque

Salida, qo(t)

qi(t)
Relación causal
q i( t ) : C a u d a l d e e n t r a d a

h ( t ) : a lt u r a d e l t a n q u e
q o (t): C a u d a l d e s a lid a
R h : r e s is t e n c ia H id r á u lic a

A:
á re a d e l ta n q u e

Caudal de

Análisis de una ecuación diferencial
lineal c. c. c.
Sistema (Físico)
u(t)

a modelar

Función forzante

y(t)
Respuesta delsistema

La respuesta y(t) de un sistema
mecánico ante una función forzante
u(t) está definida por la ecuación
diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0
2
d y (t )  0.4 dy (t )  0.13 y (t ) u (t )
d t2
dt

d 2 y(t)
dy(t)
+
0.4
+ 0.03 y(t)
dt
dt 2

=

1.5 +

e

-3t

Sen10t

u(t): Comportamiento deseado

Función forzante: u(t)
Función escalón de magnitud 1.5;

Función Senoidal multiplicada por unaexponencial

u(t) = 1.5 +

e

-3t

Sen10t

Analogía de Sistemas de Primer Orden
R
p ( t ) : s e ñ a l q u e r e g u la
e l c a u d a l h a c ia e l t a n q u e .

i( t ) :
v i( t ) : f u e n te
d e v o lt a j e

C

v o(t)

v i ( t ) : f u e n t e d e v o lt a j e
v o ( t ) : v o lt a j e d e s a lid a

q i( t ) : C a u d a l d e e n t r a d a

h ( t ) : a lt u r a d e l t a n q u e
q o (t): C a u d a ld e s a lid a

C : C a p a c it o r
R : R e s is t e n c i a

dvo(t)
R.C
 vo(t)  vi(t)
dt
dvo( t )

 vo( t)  vi(t )
dt

dc(t)
τ
+ c(t) = K.u(t)
dt

R h : r e s i s t e n c ia H id r á u lic a
A:
á re a d e l ta n q u e

dq0(t)  q t q (t)
i
R.A
0
dt
(t)
 dq0 + q0(t) = qi(t)
dt
K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo

La transformada de Laplace en la
modelación, estudio y...