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CALCULO ELEMENTAL
APUNTES
Valor absoluto
Definici´n 1. El valor absoluto del n´mero real a, que se designa por |a|, se define por
o
u
|a | =

a si a ≥ 0,
−a si a < 0.

Definici´n 2. La distancia entre los n´meros x1 y x2 de la recta real es |x2 −x1 | = |x1 −x2 |.
o
u
Proposici´n 3. Dados a y b n´meros reales cualesquiera, se tienen las siguientes propiedades
o
u
del valorabsoluto:
(i) |a| ≥ 0.
(ii) | − a| = |a|.
(iii) |a|2 = a2 .
(iv) |ab| = |a||b|.
(v) Si b = 0, entonces

a
b

=

|a|
.
|b|

(vi) −|a| ≤ a ≤ |a|.
(vii) Si b ≥ 0, entonces |a| = b si y solo si a = ±b.
(viii) Si b > 0, entonces |a| < b si y solo si −b < a < b.
(ix) Si b > 0, entonces |a| > b si y solo si a > b o a < −b.
(x) (Desigualdad triangular) |a + b| ≤ |a| + |b|.
Funciones y susgr´ficas
a
Definici´n 4. Una funci´n f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto
o
o
X un unico elemento y de un conjunto Y . El elemento y se llama la imagen de x por f y
´
se denota por f (x) (se lee f de x). El conjunto X se llama el dominio de f (dom(f )) y el
conjunto de todas las im´genes de los elementos de X se llama la imagen o el rango de f
a
(im(f )).
Definici´n 5.Dos funciones f y g son iguales si y solo si tienen el mismo dominio y
o
f (x) = g (x) para todo x del dominio.
Definici´n 6. Una funci´n f se llama par (impar) si f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x))
o
o
para todo x de su dominio.
1

Definici´n 7 (Composici´n de funciones). Se define la funci´n compuesta f ◦ g por
o
o
o
la igualdad (f ◦ g )(x) = f (g (x)) para cada x del dominio de g talque g (x) est´ en el
a
dominio de f .
Definici´n 8. La gr´fica de una funci´n f es el conjunto de todos los puntos del plano
o
a
o
de coordenadas (x, f (x)) para todo x del dominio de f .
Definici´n 9. La gr´fica de la funci´n y − k = f (x − h) se llama una traslaci´n de la
o
a
o
o
gr´fica de f . La traslaci´n es a la derecha si h > 0, a la izquierda si h < 0, hacia arriba
a
o
si k > 0 ohacia abajo si k < 0.
La sim´trica con respecto al eje x (y ) de la gr´fica de f es la gr´fica de y = −f (x)
e
a
a
(y = f (−x)).
Definici´n 10. Una funci´n polin´mica o polinomio es una funci´n de la forma
o
o
o
o
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
donde n ∈ N ∪ {0} y ai ∈ R con i = 0, 1, 2, . . . , n. Si an = 0, el entero n se llama el grado
del polinomio y an sellama el coeficiente principal. La constante a0 se llama el t´rmino
e
independiente.
Una funci´n racional es un cociente de dos polinomios.
o
Funciones inversas
Definici´n 11. Sea f una funci´n con dominio D e imagen I . Entonces la funci´n f −1
o
o
o
−1
con dominio I e imagen D es la inversa de f si y solo si f (f (x)) = x para todo x de D
y f (f −1 (x)) = x para todo x de I .
Observaci´n12. Si existe f −1 , su gr´fica se obtiene tomando la sim´trica de la gr´fica
o
a
e
a
de f respecto de la recta y = x.
L´
ımites de funciones
La notaci´n l´ f (x) = L se lee el l´mite de f (x) cuando x tiende a c es L y significa que
o ım
ı
x→c

los valores de f (x) se pueden aproximar a L cuanto se quiera, eligiendo x suficientemente
pr´ximo a c, pero distinto de c.
o
o ım
Definici´n13. La afirmaci´n l´ f (x) = L significa que para cada > 0 existe δ > 0 tal
o
x→c

que |f (x) − L| < siempre que 0 < |x − c| < δ .
Teorema 14. Si existe l´ f (x) = L y f (x) ≥ 0 para todo x de un intervalo abierto que
ım
x→c
contenga a c, entonces L ≥ 0.
2

Teorema 15 (Criterio del sandwich). Si g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x de un
intervalo abierto que contenga a c (exceptoposiblemente para c) y l´ g (x) = l´ h(x) = L,
ım
ım
x→c

entonces l´ f (x) = L.
ım

x→c

x→c

Propiedades de los l´
ımites
Proposici´n 16. Si las funciones f y g tienen l´
o
ımite en c, entonces:
(i) l´ (f (x) + g (x)) = l´ f (x) + l´ g (x).
ım
ım
ım
x→c

x→c

x→c

(ii) l´ (f (x)g (x)) = l´ f (x) l´ g (x).
ım
ım
ım
x→c

x→c

(iii) l´ f (x) =
ım g (x)
x→c

l´ f (x)...