pmbok

M A T E M A T I C A SI N A N C I E R A S
F

Thsa
interna de retorno (TIR) o rentabilidad Parael cálculode la tasainterna de retorno del dinero invertido en bonos,el inversionista
debetener en cuentatanto el valor de
los cuponescomo el valor de redencióndel bono. Un bono comprado con descuento
irá aumentandogradualmentesu valo¡,hastaigualar el valor de iedención en la fecha
de vencimientoyestoagregaun beneficioal valor de los cupones.En casode que los
bonos se comPren con premio, se produce una disminución paulatina del p.".io d"
compra que deberestarse valor de los cupones,a fin de caliular el rendimiento.
del
I3.3

PRECIO tOS BONOS EN UNA FECHADE PAGO DE INTERÉS
DE
O CUPóN
El problema consiste en determinar el valor que un inversionista debe pagar por ciertos
bonos,con el propósito de obtener determinada tasa de interés sobre su inversión. Al
comprar un bono, en una fecha de pago de intereses, comprador adquiere el derecho
el
a recibir el pago futuro de los intereses en cada periodo de págo y el vaior de redención
del bono, en la fecha de vencimiento. El valor actual del bonodebe ser equivalente a la
suma de los valores actuales de los derechos o flujoque compra, o sea:
Valor presente de los bonos : valor presente de los intereses * valor actual del
principal
Designados por:
C
P
F
r
n

:
:
:
:
:

i :

precio de redención del bono
precio de compra para obtener un rendimiento i
valor nominal (o a la par) del bono
tasa de interés, por periodo de pago de cupón
número de periodos de intereses(o número de cupones), hasta la fechade
vencimiento
tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón [rentabilidad o tasa
interna de retorno (TIR)l

Si se designapor A el valor de los interesesque paga el bono en cada fecha de
pago/ se tiene el siguiente flujo de valores:

BONOS

L o s p a g o s A f o r m a n u n a a n u a l i d a d v e n c r d a y s u v a l o r p r e s e n t ep e s p : A ( p l A ,
i % , ,r t ) ;al s u m a r a e s t e v a l o r e l v a l o r p r e s e n t ed e C a l a t a s a i . i . , s e t i e n e :
Notaciirnestá-J¿rr: p:

A(plA, i%, r) + C (n¡r, in, n)

N o r a c i ó n a l g e b r a ip = :A . t - ( t - + ¡ )
ca

+c(r+i)'

g9n)

(6eb)

Mecliante el remplazo de A : Fr (valor de los interesessobre el valor nominal a la

tasar), setlene:
Notaciónestándar p : Fr(plA, t,1", +C (n¡f , in, rr)
n)
p :
N o r a c i ó a t g e b r a i c a= F t .
n

t-(1.'l

+c(r+i)

(70n)
(70b)

La f(trmula ¿rnterior
puede transformarse,para sus aplicaciones,en otra más simple' Si e^ la identidoo
' {'- )' seclespeja1 + i) "' setiene:
(
(rl^, i,/o, ttl :
,

(1+ i)-,
O S€c'I,

: 7 - i ( P l A ,i % , n )

:
(P l r,
¡,,1 ,,r) r - i (n a, in, n)

Al rnultiplicar
porC, setierre:
C ( P F , i ' / , ,n ) : C - C i ( n . + , i % , n )
Luego, sustituir la fórmu\a70n término C(P F, i,/",n) setiene:
al
en
el
P = Fr (PlA,i%,rr)+C ci (n¡,+, n)
i%,
o sea,

P = C + (Fr -Ci ) (PlA,iI;, n)

p
N o t a c i c ia l g e b r a i c a : : C + ( r r - C r ) .
n

t-{t-+¡)'

(71n)
(7lb)

Calcular el precio que puede pagarsepor un bono de $1.0(X) 5% redimibleal
[ftsEEI|
p o r $ 1 . 0 5 0 l f i n a l d e l 0 a ñ o s ,s i s e d e s e au n a t a s ai n t e r n a d e r e t o r n o d e l t t % .
a
M e d i . r n t el a f í r r m u l a 7 1 p a r a C : 1 . 0 5 0 F : 1 . 0 0 0 r : 5 , / , , i; : 8 % , ; r ¡= 1 0 .
;
;

P : 1 . 0 5 0 [ 1 . 0 0 0 ( 0 , 0 s1 - 0 s 0 ( 0 , 0 r( nl¡ a , a , r , n )
+
])
).
P : l 05()+ (50- 84) (P A, 8"/,,,
10)
Elfactor (n n, in, rr) sebusc.r t¿rbla o secalcula:
en
VI
32
P : 1 0 5 0+ ( 5 0 * 8 4 ) ( 6 , 7 1 0:0 8 )1 , 3 6

llft

I3.4

MArEMÁTrcAS
FTNANcTERAS

VALOR DE UN BONO EN LIBROS
Los bonos comprados con premio o con descuento,con el transcursodel tiempo, varían
su valor hasta igualar el de redención, en la fecha de vencimiento; por esta razón, la
necesidadde estudiar un procedimiento...