PN Gu A Potencias

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Guía Matemática
POTENCIAS DE EXPONENTE
RACIONAL
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

.cl

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1.

Introducci´
on

Hemos escuchado muchas veces que una potencia es la multiplicaci´on abreviada de un t´ermino por
s´ı mismo un determinado n´
umero de veces, por ejemplo, a5 significa que a se multiplica por s´ı mismo 5
veces.
a5 = a · a · a · a · a
Todo bien si es un n´
umeronatural, pero ¿c´omo lo interpretamos si el denominador es 0, negativo,
1
decimal o fraccionario? ¿tiene sentido decir que a 2 es multiplicar a por s´ı mismo 12 de veces? Por situaciones
como esta es que necesitamos expandir el concepto de potencia a los n´
umeros racionales y aprender otras
formas de interpretarlas.

2.

Exponente cero

La mayor´ıa habr´
a escuchado la frase “cualquier cosaelevada a 0 es 1”. Realmente esa frase no es del
todo correcta y deber´ıa ser “cualquier expresi´on, distinta de cero, elevada a 0 es igual a 1”. Pero ¿por
qu´e ser´ıa cierta? Consideremos la siguiente divisi´on de una expresi´on algebraica por s´ı misma:
a3 ÷ a3
Sabemos de antemano que un elemento (distinto de cero) dividido por s´ı mismo es igual a 1, entonces:
a3 ÷ a3 = 1

(1)

Pero aparte sabemosque cuando hay una divisi´on de potencias de igual base, sus exponentes se restan.
a3 ÷ a3 = a3−3 = a0

(2)

Igualando los resultados de (1) y (2) obtenemos que:
Para todo a = 0
a0 = 1

3.

Exponente negativo

El exponente negativo de una potencia tiene su origen en la divisi´on de potencias de igual base. En el
caso que el exponente de la potencia del divisor sea mayor que el exponente de lapotencia del dividendo,
el resultado ser´a una potencia con exponente negativo. Un ejemplo simple:
x4 ÷ x6 = x4−6 = x−2
Para comprender c´
omo interpretar un exponente negativo veamos un caso general.
xm ÷ xm+n
Seg´
un la propiedad para la divisi´
on de potencias de igual base:
xm ÷ xm+n = xm−(m+n)
= xm−m−n
=x

2

−n

(3)

☞¡Mira!

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Por otra parte, la divisi´
on la podemos escribircomo una fracci´on de la siguiente manera:
xm ÷ xm+n =

xm
xm+n

En tal caso:
xm
xm+n
xm
= m n
x ·x
1
= n
x

xm ÷ xm+n =

(4)

Los resultados de (3) y (4) son iguales a la misma expresi´on xm ÷ xm+n , por lo tanto, son equivalentes.
x−n =

1
xn

Toda cantidad elevada a un exponente negativo es
igual a una fracci´on de numerador 1 y denominador
igual a la cantidad pero con exponente positivo.
x−n =1
xn

Dicho de otra manera, la expresi´on x−n es igual al
inverso multiplicativo de xn .

✎ Ejemplo
Reescribir la expresi´
on

a−2 b−3
con denominadores positivos.
a−4 c−1

Soluci´
on: Aplicando el significado del exponente negativo tendremos que la expresi´on la podemos
reescribir como:
1 1
·
2 b3
a−2 b−3
a
=
1 1
a−4 c−1
·
a4 c
1
2
3
= a b
1
a4 c
1
a4 c
= 2 3·
a b
1
4
a c
= 2 3
a b
a2 c
= 3
b

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Notar del ejemplo anterior que al “pasar” una potencia del numerador al denominador o del denomi´
nador al numerador, el signo de la potencia se invierte. Esta
es una manera r´apida de ver c´omo reescribir
una expresi´on con exponentes negativos a otra con exponentes positivos. El saber reescribir una expresi´
on
algebraica es una habilidad b´
asica que s´ı o s´ı debemos dominarpara evitar errores de procedimiento en
la resoluci´on de un problema.

✍ Ejercicios

1

Reescribe las siguientes expresiones a exponentes positivos
1.

a−2 c
b3

4. 4x2 y −5

7. 3a−2 b3 c−4

2.

a−4 b−1

5.

x−1 y −2 z −3
a−3 b−2 c−1
1
6.
2y −2

8. x− 3 y −3

3.

4.

3
x−1 y 3

1

9.

z −3
1

x− 2 y −2

Potencias de exponente fraccionario y las ra´ıces

Es com´
un en Matem´
atica tomar unaexpresi´on algebraica o aritm´etica y reescribirla de forma m´
as
simple. Para lograrlo a veces es necesario inventar notaciones y s´ımbolos que mantengan la coherencia
l´ogica y a la vez condensen informaci´
on de forma simple. Veamos el siguiente problema:
√
x= 3
Si elevamos al cuadrado ambos t´erminos de la igualdad obtenemos:
√
x2 = ( 3)2 = 3
entonces
x2 = 3
Para obtener x nos debemos preguntar...